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1、SH积分的收敛定理和Riesz型定义第16卷第4期2004年12月甘肃科学Journa1ofGansuSciencesVo1.16No.4Dec.2004SH积分的收敛定理和Riesz型定义武斌,叶国菊(西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730070)摘要:Banach值函数在Henstock强变分意义下的积分叫SH积分.文中将证明SH积分的收敛定理,并讨论收敛定理之间的关系,还给出了这种积分的Riesz型定义.关键词:Henstock积分;SH积分;广义控制收敛定理~Riesz型定义中图分类号:O177.8
2、文献标识码:A文章编号:1004—0366(2004)04—0030-04GeneralizedMeanConvergenceTheoremandRiesz-typeDefinitionforSHIntegralsWUBin.YEGuo—ju(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthzoestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)Abstract:Henstock'Sstronglyvariationalintegralfor
3、Banach—valuedfunctioniscalledSHintegra1.Ageneralizedmeanconvergencetheoremispresentedhere,andaRiesz—typedefinitionforsuchintegralsisgiven.Keywords:Henstockintegrals;SHintegrals;generalizedmeanconvergencetheorem;Riesz—typedefinition文献I-1"I讨论了Bochner,Pettis和Dunf
4、orcl积分的Denjoy型推广,文献[2]重点讨论了实数集上的Henstock积分.结合文献[33的理论,文献[43给出了Henstock—Bochner积分的表现定理,文献[5]提出了HL积分的概念(文中称为SH积分),利用文献[63和[73的方法,我们得到了SH积分的收敛定理和Riesz型定义.1定义及概念在这一部分,我们将定义SH积分,并讨论它的性质.定义1假设是闭区间[口,6]上的正值函数.[口,6]上的划分D一{,口];)}被称为Henstock一精细划分,是指对任意(,t,],)∈D,如果∈[,口]c
5、(—(),+()).在后面的讨论中,我们将用部分划分来代替划分.划分D={[,口];))是[口,6]上的部分划分是收稿日期:2OO4一O1—13基金项目:兰州大学博士后基金项目;SRF(ROCS,sEM)基金项目资助指,{,口])是[口,6]上一族互不重叠的闭区间.定义2假设(B,IlI1)是范数IlIl下的Banach空间.函数厂:[口,6]一(B,【II1)被称为在[口,6]上SH可积的,是指存在函数F:[口,6]一(B,lJlJ)满足以下条件:对任意￡>0,存在[口,6]上正值函数(),使得对于D一{[
6、,口],))是[口,6]上Henstock一精细的部分划分,(D)Il厂()(v-u)一F(u,口)Il<￡广6成立.记作(sH)If(x)dx=F(u,口),称F是厂的原函数.其中F(u,)一F)--F(u).定义3Banach值函数F被称为在[口,6]上AC的,指对任意e>0,存在r/>0,对任何互不重叠的区间族[口,],当∑Ibi一口I<时,有IlF(a,)II<￡,其中F(口,6)一F(6f)一F).第16卷武斌等:SH积分的收敛定理和Riesz型定义31定义4假设xc[口,6
7、].定义在x上的Banach值函数F被称为AC(x)是指,对任给e>0,存在7/>0,对任何互不重叠的区间族,],a,bl∈x,当∑Ibl一口I<时,有llF(a,6)II<e,定义5定义在x上的Banach值函数F被称为AC'(x)是指,对任给e<0,存在7/>0,对任何互不重叠的区间族[a,],at,b∈X,当∑Ihi--ail<时,有:to(F~,b1])<e,i其中w(F;[口,])=sup{llF(x,)lI;z,yE[口,]}.定义6Banach值函数F被
8、称为在x上ACG',是指x可表为可列个x之并,x—UXi,F在X上是AC(X).接下来我们讨论SH积分的基本性质,它们在以后的定理证明中起着很大作用.引理1E如果厂)一O几乎处处于,6],则厂在,6]上是SH可积的,而且积分值为0.定理1[如果厂在[口,6]上是SH可积的,则它的原函数F具有以下性质:(1)原函数F在[口,6]上连续;(2)原函数F在[口,6
