高等代数初步(研究生用)

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1、多变量分析中常用的矩阵代数一、矩阵及其主要相关概念（一）矩阵（matrix）：一群数排列成m行（row,横行）n列（column,纵列）所得到的数表。如：矩阵用大写黑体字母表示为：A，或i为行序数，j为列序数。一行一列的矩阵等同于一个数，即A=（a）=a（二）方阵（squarematrix）：行数与列数相等的矩阵。如B为3阶方阵。（三）方阵之迹（trace）:方阵自左上至右下的主对角线各元素之和。记作trA。如上例方阵B之迹为58.（四）转置矩阵（transpose）:将矩阵A的第i行，变为第i列，所得到的新矩阵，叫做矩阵A的转置矩阵，记作如上例，方阵B之转置矩阵为：

2、（五）对称矩阵（symmetricmatrix）：如果在对称矩阵中，17为节省起见，对称矩阵主对角线上方一侧的元素可略去不写。（六）三角矩阵（triangularmatrix）：主对角线一侧元素皆为零的矩阵。其中，主对角线左下方有非零元素的三角矩阵，叫下三角矩阵；主对角线右上方有非零元素的三角矩阵，叫上三角矩阵。为节省起见，三角矩阵中主对角线一侧的皆为零的元素可略去不写，但要写一个“零”字，以与对称矩阵相区别。（七）对角线矩阵或对角矩阵（diagonalmatrix）:除主对角线元素外，其余元素皆为零的矩阵。主对角线元素指。对角线矩阵可以简写如下：（八）单位矩阵或单元

3、矩阵（identitymatrix）:主对角线各元素皆为1的对角线矩阵。可以记作单元矩阵与任何矩阵A相乘，不论左乘，还是右乘（如果可乘的话），其积为矩阵A。(九)零矩阵（zeromatrix）:零矩阵可以表示为（十）满秩（fullrank）矩阵与缺秩（deficientrank）矩阵有矩阵A为缺秩矩阵。（十二）系数矩阵与增广矩阵设有方程组Ax=b(其中A为系数矩阵，x为未知数列向量，b为常数列向量)，则A为系数矩阵，为增广矩阵。则（十三）正交矩阵17二、向量及其有关概念（一）向量（vector）：只有一行或一列的矩阵，叫向量。向量以小写黑体英文字母表示。行向量各元素间

4、有逗号隔开。（二）行向量与列向量m×1矩阵，叫m维列向量；1×n矩阵，叫n维行向量。为了节约篇幅，列向量通常写作行向量的转置。（三）单元向量（unitvector）元素都是1的向量，叫单元向量。用黑体数字1表示，右下可加数字表示维数。注意不应与单元矩阵I相混淆。（四）零向量（zerovector）元素都是0的向量，叫零向量。用黑体数字0表示.三、矩阵之间的关系（一）转置矩阵（transpose）（二）负矩阵（三）逆矩阵（反矩阵，inversematrix）如果有A的逆矩阵是惟一的。只有非特异矩阵（满秩矩阵才有逆矩阵）。例如(四)同型矩阵如两个矩阵A和B具有相同的行数和

5、相同的列数，则A、B为同型矩阵。（五）矩阵相等A、B为同型矩阵，且两个零矩阵、两个单元矩阵不一定相等，因为他们可能不同型。（六）伴随矩阵（adjointmatrix）17设有n阶矩阵A，将A的每一个元素替换为其对应的代数余子式，然后再转置，所得到的矩阵，叫原矩阵的伴随矩阵。A的伴随矩阵记作adjA或A*.四、行列式及其有关概念和计算(一)行列式（determinant）行列式实际是一系列的几个数连乘积的和的一种记录式。通常用D表示。n阶矩阵（方阵）A，则A的行列式记作detA或（二）行列式与矩阵1,行列式是一个数值，矩阵是含有若干行与列的一个数表；2.行列式的行数与列

6、数相等，矩阵的行数与列数可不相等；3.矩阵与行列式的几何意义：矩阵中各列表示各向量在空间上的关系，行列式表示各列向量构成的平行多面体的体积。（三）行列式的子式、余子式、代数余子式1.行列式的子式：由行列式的部分行、列相交处的元素组成的行列式，叫原行列式的子式。由K行K列相交处的元素组成的子式，叫K阶子式。矩阵也有对应的子式。例如一个3×4阶矩阵4.余子式：在n阶行列式中，划去所在行与列的元素，剩余元素按原序组成的一个n-1阶行列式，叫的余子式，175.代数余子式：在余子式前乘以代数余子式。例如（四）行列式之展开法1.二阶、三阶行列式可用对角线法展开练习：2.四阶行列式

7、求法：子式展开法（也适于二阶、三阶行列式）可以按任一行或任一列展开行列式。即就某一行（或某一列），以该行每一元素乘以该元素的代数余子式，相加即得行列式的值。注意代数余子式由余子式加正负号得到。正负号在各行个列是正负间隔排列的。例1：对“1”之例2,用子式展开法计算。练习：计算行列式的值（五）行列式性质1.若n阶行列式有一行（或）一列元素全为零，则行列式为零；2.行列互换，行列式值不变。即行列式转置后，行列式的值不变。即3.对换行列式任意两行（或任意两列），则行列式变号。4.行列式如果有两行相同，则此行列式为零。5.用数k乘行列式，等于任一行（或任一列