《微积分_b_ⅰ》期末考试试卷b答案

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1、2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案北京交通大学2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案1．（本题满分8分）设函数在点处可导，求极限．解：．2．（本题满分8分）求积分．解：令，则，．所以有．3．（本题满分8分）设函数由参数方程所确定，求．解：．第7页共7页2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案．4．（本题满分8分）计算曲线上对应于的一段弧的长度．解：所以，，．因此，所求弧长为．5．（本题满分8分）设，求．解：等式两端从到积分，记，得

2、．而，．所以，有，即，．所以，有．6．（本题满分8分）第7页共7页2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案设曲线在点处的切线与轴的交点为，．求极限．解：切线斜率为，所以切线方程为．令，得的切线与轴的交点的横坐标为，．于是．7．（本题满分8分）设，求．解：．8．（本题满分8分）设，求积分．解：．9．（本题满分9分）第7页共7页2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案设当时，的导数与是等价无穷小，求．解：．所以，由题意，，得．所以，．10．（本题满分9分）设是常数，讨论

3、方程根的个数，并指出每个根所在的范围．解：将方程改写为，引入函数．由于，，，从而有于是可得当时，原方程无根；当时，原方程有唯一根，；当时，原方程有个根，，，；当时，原方程有个根，，；第7页共7页2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案当时，原方程有唯一根，．11．（本题满分9分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且．如果函数在区间上的最大值，证明：存在，使得．证明：令，则函数在闭区间上连续，在开区间内可导，而且由题设，知，．由连续函数的最大值定理，以及题设，知存在，使得，所以，所以由连续函

4、数的零点定理，知存在，使得．再由，由Rolle中值定理，知存在，使得．而，所以存在，使得．12．（本题满分9分）设抛物线与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为，其中一条切线于抛物线相切于点，．⑴求的表达式．⑵为何值时，面积取最小值．解：⑴抛物线在点处的切线的方程为，即．再设抛物线在点处的切线的方程为，即．由于与相互垂直，故有，即．所以切线的方程为．设切线与的交点为，则有，．第7页共7页2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案于是直线与，以及抛物线所围图形的面积为．⑵以下求函数在区间上

5、的最小值点．，令，得函数在区间上的驻点．当时，；当时，．所以函数在区间上的最小值点．即当时，面积函数取最小值．附加题一．（本题满分10分）设函数在闭区间上连续，在开区间内二阶可导，则存在，使得．证明：设，，则与在区间上满足Cauchy中值定理的条件，且，，，因此由Cauchy中值定理，知存在，使得．第7页共7页2007-2008学年第一学期微积分（B）Ⅰ期末考试试卷（B卷）答案再在区间上对函数应用Lagrange中值定理，知存在，使得．所以，有，即．附加题二．（本题满分10分）求积分．解：而对积分作变换，得，所以，．所以

6、，．令，，代入上式，得．第7页共7页