二次函数动点问题拔高题 教师版学生版(含答案)

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1、二次函数专题—动点问题一、因动点而产生的面积问题例1：如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x…-3-212…y…--4-0…(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使

2、FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.图10若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.解析考点：二次函数综合题．专题：压轴题；探究型．分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P的解析式．然后根据抛物线P的解析式即可得出A、B、C三点的坐标；（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先

3、在直角三角形AOC中，根据AD，OA，DG，CD的比例关系式，用m表示出DG的长，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的长，进而可根据ED=EO+OD得出ED的长，然后由矩形的面积公式即可得出S与m的函数关系式；（3）根据（2）的函数关系式即可得出S的最大值及对应的m的值．进而可得出D，E，F，G的坐标．如果设DF的延长线交抛物线于N点，那么可先求出FN与DF的比例关系．如果过N作x轴的垂线设垂足为H，那么我们可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均为F，N点的纵坐标的绝对值，因此要先求出N点的纵坐

4、标，可先根据D、F的坐标求出直线DF的解析式，然后联立直线DF的解析式与抛物线P的解析式求出N点的坐标，然后根据上述比例关系求出FN、DF的比例关系，如果求出此时FN=k1DF，那么由于M不在抛物线上，因此k的取值范围就是k＞0，且k≠k1．若选（2）可参照上面（2）的求解过程进行计算．解答：解：（1）解法一：设y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，4a−2b+c＝−4a+b+c＝−524a+2b+c＝0，解得a＝12b＝1c＝−4，∴解析式为y＝12x2+x−4，令y=0，求出x1=

5、-4，x2=2；令x=0，得y=-4，∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．（2）由题意，ADAO＝DGOC，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又BEBO＝EFOC，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，第-11-页∴SDEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m2（0＜m＜2）．注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解．（3）∵SDEFG=-6m2+12m=-6（m-1）2+6，（0＜m＜

6、2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0），设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=23，b=-23，∴y＝23x−23，又可求得抛物线P的解析式为：y＝12x2+x−4，令23x−23=12x2+x−4，可求出x=−1±613．设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为−1−613，过N作x轴的垂线交x轴于H，有FNDF＝HEDE=−2−−1−6133=−5+619，点M不在抛物线P上，即点M不与N

7、重合时，此时k的取值范围是k≠−5+619且k＞0．若选择另一问题：（2）∵ADAO＝DGOC，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又∵FGAB＝CPOC，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，∴SDEFG=DG•FG=6．一、因动点而产生的等腰三角形问题例2：如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；ACByx011（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合

8、条件的点坐标；不存在，请说明理由．分析：（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．（2）令x=0，可求出C点坐标，由BC∥x轴可知B，C关于抛物线的对称轴对称，可求出B点坐标，根据AC=BC可求出A点坐标．（3）分三种情况讨论：①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；第-11-页②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已