浮点数的表示和精度

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1、浮点数的表示和精度(2009-12-1717:03:57)转载标签：it分类：C/C++如果a>0，那么1+a一定大于1吗？在数学上，答案是肯定的。但在计算机上，答案就与a的大小和浮点数的精度有关了。在matalb上，可以作以下计算：>>a=1/2^52a=   2.220446049250313e-016>>1+a>1ans=    1>>a=1/2^53a=   1.110223024625157e-016>>1+a>1ans=    0可见，当a等于1/2^53时，1+a>1是不成立的。1浮点数IEEE754定义了单

2、精度浮点数和双精度数浮点数，即float和double。float有32bit，double有64bit。它们都包括符号位、指数和尾数。   符号位   指数   尾数float   31(1)   30-23(8)   22-0(23)double   63(1)   62-52(11)   51-0(52)符号位有1bit，0表示正、1表示负。设一个数的指数是e，指数部分的值是bias+e。加上一个bias是为了表示负数。float的bias是127，double的bias是1023。指数全0或全1有特殊含义，不算正常

3、指数。   *float的指数部分有8bit，可以取值1~254，减掉127，得到对应的指数范围-126~127。   *double的指数部分有11位，可以取值1~2046，减掉1023，得到对应的指数范围-1022~1023。这里的指数是以2为底的，同样尾数也是二进制的。IEEE754要求浮点数以规范形式存储，即小数点前有1位非零数字。对于二进制数，非零数字只有1。所以IEEE754在存储时省略了这个小数点前面的1，只存储小数点后面的位。2误差看个例子，设： doublea=0.2;在PC上，我们可以看到a对应的存储区

4、数据是：9A9999999999C93FPC的数据是小尾的，即低位字节在后，将其写成高位字节在前，得到：3FC999999999999A可见符号位为0。指数位是0x3FC，即1020，减掉1023，得到指数-3。尾数是999999999999A。所以完整的数字就是16进制的1.999999999999A乘上2^-3。即：a=(1+9*(1/16+1/16^2+...+1/16^12)+10/16^13)*2^-3(1/16+...+1/16^12)可以用等比级数求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)计算，其中a1=1/1

5、6，q=1/16，n=12，因此：a=(1+9*(1-1/16^12)/15+10/16^13)*2^-3用windows的计算器计算上式，得到a=0.20000000000000001110223024625157这也不是精确解，但已经可以看到用double表示0.2时存在的误差。这个例子说明在用有限字长的二进制浮点数表示任意实数a可能引入误差。设实数a的指数为e，尾数位数为n，显然：误差<(1/2^n)*2^e3精度可以把机器精度定义为满足条件fl(1+ε)>1的最小浮点数ε。其中fl(1+ε)是1+ε的浮点表示。显然

6、double的机器精度是1/2^52。float的机器精度是1/2^23。matlab内部采用double，1+1/2^53对double来说就是1，所以1+1/2^53不会大于1。对于规范数来说，因为小数点前默认有个1，所以float的有效数字是24bit，对应8位十进制有效数字；double的有效数字是53bit，对应16位十进制有效数字。4特殊的浮点数前面提到浮点数的指数全0或全1有特殊含义，让我们来看看这些特殊的浮点数：   *指数和尾数都是全0表示0。根据符号位不同可以分为+0和-0。   *指数全0，尾数不为全

7、0，这些数是非规范数，即尾数部分不假设前面存在小数点前的1。或者说这些数太接近0了，因为指数已经不能再小，所以这些数不能写成规范形式。例如：double数0000000000000001的尾数是0000000000001，即1/2^52，对应的数是1/(2^52)*2^-1022，即4.9406564584124654e-324。   *指数全1，尾数全0表示无穷大，即inf。根据符号位不同可以分为+inf和-inf。   *指数全1，尾数不为全0表示NaN，即NotaNumber，不是数。尾数最高位为1的NaN被称作QN

8、aN（QuietNaN）。尾数最高位为0的NaN被称作SNaN（SignallingNaN）。通常用QNaN表示不确定的操作，用SNaN表示无效的操作。在计算机内部，double就是一个64位数。从0x0000000000000000~0xFFFFFFFFFFFFFFFF，每个64位数都对应一个浮点数或