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1、用函数不动点原理破解数列单调性2011年第6期中学数学研究35用函数不动点原理破解数列单调性北京师范大学良乡附属中学(102488)李春雷对于函数-厂(),方程,()=的根称为)的不动点.通过不动点原理,函数单调性以及数学归纳法,可以破解,揭示出一些精彩的数列不等式串的命题玄机.笔者尝试给出两个相关定理和两个推论,并予以证明,再用近几年的竞赛题,高考题以及模拟题来说明这两个定理适用的广泛性.笔者希望通过这个两个定理,能够抛砖引玉,帮助一线中学数学教师顺利拟出更加精彩的试题,对高中数学教学工作有所裨益.定理1已
2、知.是连续函数Y=)的一个不动点,数列{o}满足=o).(I)若函数Y=)在(p,.)内是增函数,P<口1<0且l<02,贝4口<0+1<0.(1I)若函数y=z)在(.,q)内是增函数,q>Ⅱ】>0且0】>n2,贝0nn>0+l>o.证明:(I)先用数学归纳法证明加强结论:p<0<0+1<0.(木)(i)当n=1时,因为函数Y=,()在(p,.)内是增函数,P<n<0,所以/n1)</<o).又-厂(口1)
3、:r上2o)=o,所以02<o.又nl<口2,所以P<0l<口2<o,知不等式()成立.(ii)假设当n=k(k∈N)时不等式(:Ic)成立,即P<0<0<o.①因为函数Y=,()在(p,.)上是增函数,所以0)<0)<0).又0)=口口)=口0)=0,所以口+l<口+2<0.又由①得P<口,所以P<0<+2<o.这说明当n=k十1时,不等式()也成立.综上所述,对于一切n∈N,不等式()都成立,从而原不等式成立.
4、(Ⅱ)先用数学归纳法证明加强结论:g>>口h+l>Xo?方法类似于(I)的证法(此处从略),所以原不等式成立.例1(2005江西理21)已知数列{口}的各项都1是正数,且满足:ao=1,0=÷口(4—0),∈厶(I)证明n<n+<2,几∈Ⅳ;(1I)求数列{}的通项公式口.分析:(I)观察数列{口}递推关系川=1÷n(4一口)的结构特征,可以构造出函数)=1(4一).令)=,可以解得=0或=2,二说明.=2恰是函~Cf(x)的一个不动点.又注意到1函数)在(0,2)上单调递增,且
5、:÷n.(4—00)=1小(4_1)=寻根据定理1(I)得0<口+(II)略.>1=口0,最p口o<口1,<2.n∈Ⅳ.例2(2008年全国卷I理22)设函数-厂()=一xlnx.数列{口}满足0<01<1,0=,(口).(I)证明:函数_厂()在区间(0,1)是增函数;(1I)证明:口<0+1<1;(Ⅲ)设6∈(n.,1),整数≥.证明:.>b.分析:(I)当0<<1时'厂()=1一lnx一1=一lnx>0,所以函数-厂()在区间(0,
6、1)是增函数.(Ⅱ)令l厂()=一x]nx=,贝0xlnx=0.又>0,所以lnx=0,所以=1.说明‰=1恰是函数)的一个不动点.因为)=—x]nx,0n+l=0),所以.2=口1)=n1—01lna1.因为0<Ⅱ】<1,所以lna1<0,所以口Ilna1<0,所以一Ⅱ1lna1>0,所以口2=口1一口1lna1>口1.又由(I)知函数_厂()在区间(0,1)是增函数,根据定理1(I)得n<口川<1.(1I)略例3(2006湖南理19)已知函数)=一36
7、中学数学研究2011年第6期sinx,数列{a}满足:0<口1<1,口川=血),r/,:1,2,3,…1证明(I)o<口<口<1;(Ⅱ)0<言03?分析:(I)先用定理1(Ⅱ)证明0<口川<口.①令)=—sinx=,易知.=0是方程)=的一个根,这说明.=0恰是函数,()的一个不动点.因为0<<l时厂()=1一COSX>0,所以)在(0,1)上是连续的增函数.因为0<口1<1,所以02=a1)=01一sinal<口1,且口a1
8、>口2.根据定理1(1I)可得0<a<n.再用数学归纳法证明0<0<1,n=1,2,3,②(i)当/1,=1时,由已知0<0<1,可得结论成立.(ii)假设当=
9、j}时结论成立,即0<口<1.又前面已证)在(0,1)上是连续的增函数,从而0)<.)<1),即0<Ⅱ川<1一sinl<1.故当rt=+1时,结论成立.由(
