第十章刚体的定点运动及一般运动_理论力学

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1、第十章刚体的定点运动及一般运动1.刚体绕固定点运动时，具有三个自由度（见图10-1）用欧拉角描述其在空间的方位。2.欧拉角进动角，章动角，自转角。3.定点运动的运动方程4.定点运动的角速度若建立结体系Ox'y'z'，并将沿三个坐标轴分解（这种分解是刚体动力学需要的）可得到欧拉运动学方程。见式（10-5）5.角加速度对于结体系Ox'y'z'而言，有：（见§10-3。3）6.定点运动刚体上各点速度及加速度7.刚体绕两相交轴转动之合成为绕定点运动，其两轴交点即为固定点，此时只具有两个自由度，是二维定点运动。此时有：（1）（2）（3）刚体上各点的v，a，除可用第六条公式

2、计算外，亦可用点的合成运动理论分析：，其中注意：此时牵连运动为转动，必然存在科氏加速度。8.亦存在绕三个相交轴转动的合成，构成三自由度定点运动，如图10-13所示的三维陀螺。图中外框架以绕z轴转动，内环绕固结于外环（框架）上的x'轴以转动，转子则绕固结于内环（框架）上的x''轴以自转。9.刚体作一般运动时，将其分解为跟随基点的平动和相对于基点的定点运动。10.刚体的合成运动★绕两平行轴转动的合成--平面运动；★绕两相交轴或三相交轴转动的合成--定点运动；★绕两异面轴转动的合成--一般运动；★平动和定点运动的合成--一般运动；★沿某直线平动和相对于该直线转动--螺

3、旋运动。总之，所有合成运动问题，均可用分解为牵连运动和相对运动的方法来分析。如分析行星锥齿轮系统，多用反转法。绕三相交轴转动的合成，则需建立二次动系，注意具体问题具体分析。详见综合辅导。刚体在运动过程中，其上若存在且只存在一点始终固定不动，则称为刚体绕定点运动。如图10-1和图10-2所示。图中点O为固定点。刚体在空间运动时可占有任意位置，称为自由刚体的运动。自由刚体在空间运动具有六个自由度。例如乒乓球被击出后在空中的运动。刚体运动的合成：1．在平面中跟随基点的平动和相对于基点的转动，合成为平面运动。2．绕两平行轴转动合成为平面运动（见§9-5）。3．基点作直线

4、运动，刚体跟随基点沿该直线平动和相对于基点绕此直线转动，合成为螺旋运动，例如直升机铅垂起降时之螺旋桨的运动。4．绕两个或多个相交于一点的轴的转动，合成为定点运动。5．跟随基点的平动和相对于基点的定点运动合成为自由刚体一般运动。思考：读者可任意组合出其他形式，例如绕两异面轴转动的合成，将是什么运动？§10-1欧拉角和刚体绕定点运动方程式1.欧拉角为了描述绕定点运动的刚体在空间的方位，过定点O建立一固定坐标系Oxyz和一个固结于刚体上的动系Ox'y'z'，称为结体系，如图10-3所示（刚体未画出）。其中：为x'y'平面与xy平面之交线，称为节线。结体系（即刚体）的方

5、位由下列三个角确定：（1）进动角（2）章动角（3）自转角、、称为欧拉角。2.欧拉角的形成过程图10-4表示欧拉角的形成步骤：初始时结体系与定系重合，记为。（1）绕z轴转过角→；此时、（即）、和共面。（2）再绕轴（即节线）转过角→；此时平面转到，两平面之交线表为，称为节线；，，和四轴共面，且与正交；（3）再绕轴转过角→x'y'z'，形成如图10-3所示之欧拉角。此时N，，，四轴共面，且与Oz'正交。3.刚体绕定点运动方程式（10-1）是时间的单值连续函数。由式（10-1）可见，定点运动一般具有三个自由度。角速度矢量，和如图10-4所示。则（10-2）可见，定点运动

6、的绝对角速度是一个变矢量，即说明：欧拉角、、均为标量，对时间求导后代表角速度，有大小和方向（按右手规则）且符合平行四边形法则，因此角速度是矢量，但只能用，和表示，不能用黑体字，，表示。§10-2刚体绕定点运动的欧拉定理·瞬时转动轴1.欧拉位移定理和欧拉转轴（1）欧拉位移定理：具有固定点O的刚体从某一位置（弧）经运动到另一位置（）的有限位移，可以绕通过固定点O的某轴转动一个转角来实现。见图10-5。（2）转轴称为欧拉转轴或一次转轴。（3）平均角速度为，（10-3）2.瞬时转动轴当时轴的极限位置OC即为瞬时转动轴。简称瞬时轴。3.角速度角速度矢量沿瞬时轴，按右手规则

7、确定其正方向，因此亦可说：和重合的轴称为瞬时轴。此瞬时刚体上任何一点的速度为（10-4）其中r为从固定点O引向该点的矢径。§10-3刚体绕定点运动的欧拉运动学方程1.角速度见式（10-2）2.欧拉运动学方程将表示成沿结体系投影形式（为方便动力学应用）（10-5）式（10-5）称为欧拉运动学方程，其矩阵形式为(10-6）亦可投影到定系上，为：(10-7)3.角加速度（见图10-6）所以（10-8）为之矢端速度。4.规则进动欧拉角的实际重要性在于，有许多力学系统，其刚体的运动学方程式中，章动角等于或近似于常数，且进动角速度和自转角速度等于或近似于常数，这种运动称为规

8、则进动。用欧拉角描述规则