广义矩阵函数的一个不等式

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1、广义矩阵函数的一个不等式广义矩阵函数的一个不等式刘修生(黄石理工学院数理学院湖北黄石435003)程数学物理http://actams.wipm.ac.cn摘要:设S表示m次对称群,G是它的子群,是G上次数为1的特征标.对于m阶具有奇异值n,r2,…,r的复矩阵A,证明了不等式c().特别地A)11∑r,这里(A)=∑)((兀al,(.).关键词:奇异值;张量对称类;诱导算子.MR(2000)主题分类:15A45中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1003—3998(2011)05—1323—0

2、51引言设G是m次对称群s的一个子群,)(是G上一次特征标,即G到复数域上的非平凡同态,则结合G与)(的广义矩阵函数定义为竹dx(A)=∑lX(仃)IIn),A=(.)∈Mm(c),(1.1)∈G:1这里M()表示复数域上mXm型矩阵集合.在文献[1]中M.Marcus和H.Minc证明了下列不等式.如果A是任意一个m×m型复矩阵,r,r2,…,为它的奇异值,则dx(zi1(1.2)这篇注记只涉及到广义矩阵函数的一个不等式.重要结果是定理4.1,而不等式(1.2)是定理4.1得到的不等式的直接结果.收稿日期:

3、2009—08—23;修订日期:2010—09—02E—mai1:】xs6682@163.com1324数学物理Vl01.3lA2张量对称类的背景与记号设V=C为复数域上的一个n维复向量空间.设表示的m次张量积.假设G是的一个子群,)(:G—是G的一个次数为l的特征标.考虑在张量空间由G和)(定义的对称化子1一(G,x)(1一.Vm)∑x(盯)一(1)一'I『,().I—laGG张量空间V在T(G,X)的像称为结合G与X的张量对称类,记为(G).记u1…"=T(G,)()("1…Vm),称为(G)中的可分解张

4、量.对任意T∈End(V),存在惟一()作用在(G)上的诱导算子且满足K(T)vl…,fJm=Tvl???um记F,:{=(Q1,?一,)l1n,i=l,2,?一,仃).设=(1,?一,)∈r,,∈G,定义?n:((1),…,()).对于∈F,,用mp()表示正整数P出现在中的次数,P=1,…,_n.记O()={?l∈G),称0()为的轨道.显然r可分解为若干个互不相交的轨道的并集.现在我们把每个轨道中按字典排列的第一名挑出来组成一个集合,叫做轨道代表集,记为△.再定义={&∈△f∑x(盯)≠0},.

5、J这里G.是的稳定子群,即G:{∈Gl=).设B={e1,C2,…,e)是的标准正交基,记e三=ee:…e,这里=(1,2,?--,)∈r,.若)((e)=1,贝0B偈)是(G)的标准正交基.如果A∈()是一个关于6的矩阵表示,则诱导算子()关于6有一个矩阵表示.记这个矩阵为(),称为A的诱导矩阵.事实上,K(A)是一个11×11矩阵,且满足K(A)xlX2???$m=AX1)l(Axe???Axm,Xl,?一,m∈C见文献f21.为了使K(A)是一个好的定义,我们总是假设一A≠3主要引理下面两个引理是属于M

6、.Marcus和H_Minc[1].引理3.1(参见文献[1,定理2.11)如果A=UDU,这里是m×m型酉矩阵,D=diag(rl,…,r),则dx(∑1Idx(,…}mJ)l垂).(3.1)NO.5刘修生:广义矩阵函数的一个不等式1325引理3.2(参见文献[1,定理2.2])如果U是m×m型酉矩阵,1Pm,则∑ldx(…)m])l_1.(3.2)我们也需要下面引理.引理3.3(参见文献[3,定理2.1])设A∈Mm(C),记JAJ=(A).则对于任意∈(0,1)和任意r",V∈V有l(Au,)l(IAI

7、u,lAI.u)(IAI一,ll一").特别地I(Au,v)l(IAlu,u)l(IAl,).(3.3)(3.4)引理3.4(参见文献[4,引理1])设,B∈Mm(C),e是一个在t的位置为1其余位置为0的m维向量.则(Be1Be2??'Bem,Ae1Ae2???Ae)=dx(B)特别地,我们有(C1C2??一em,AelAe2??一em)=hdx(A).引理3.5(参见文献[5,命题1.4])对于诱导矩阵有下面性质(a)K(AB)=()(B),对于任意,B∈‰();(b)K(A)=();(c)如果A∈Mm(

8、C)是对角矩阵或酉矩阵,则K(A)也是对角矩阵或酉矩阵4主要结果在这一节,我们聚焦广义矩阵函数)的不等式.定理4.1设A∈Mm(C)和A=UDV是矩阵A的奇异值分解.这里D=diag(rl,?一,r)与是酉矩阵,则c().证借助引理3.4,我们有ldx()l云l(e1e2一em,e1e2_?.em)l云l(()e1一'emje1一'em)l,这里h表示子群G的阶.对(4.2)式应用引理3.3,我们得