初中数学竞赛解答题训练

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1、www.czsx.com.cn初中数学竞赛解答题训练（经典赛题）1．已知抛物线：和抛物线：相交于Ａ，Ｂ两点．点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间．（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥轴时，求PQ长度的最大值．2．已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．９www.czsx.com.cn3．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点

2、为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）；（2）△PAB∽△PDC．4．（1）是否存在正整数，，使得？（2）设是给定的正整数，是否存在正整数，，使得？5．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：（第12A题）．（第12B题）（第11题）９www.czsx.com.cn6．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k

3、的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.7．求满足的所有素数p和正整数m.8．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？９www.czsx.com.cn答案1解：（1）由解得不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6）所以（2）设P（a,b），则-2≤a≤2，，因为PQ∥y轴，所以点Q的横坐标为a，则所以PQ＝＝即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，PQ的最大值为8。2．解：假设方

4、程有两个整数解为，由　知，下证（1）事实上，若，则，，即，因a，b为正整数,所以ab＝1，2，3或4，易知不存在a，b的值满足（2）不妨设则，即，所以有，因是正整数，故把代入原方程得，　即，也即所以，因a,b都是正整数，则　　解得：　　　由得综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得方程有两个整数解为。９www.czsx.com.cn3．证明：（1）连结PG，PE，PF，四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆（2）　　4．解：（1）由得：又因为当n为正整数时，，所以不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正

5、整数，，使得(2)当k=3时，由得：，若关于m的方程有正整数解，则（为正整数），即所以，解得：　　所以不存在正整数，，使得。当时，①若，代入。整理得设（为正整数）即令，解得，此时②若，代入。整理得设（为正整数）９www.czsx.com.cn即令，解得，此时　并且m，n的值都是正整数。综上，当时，不存在正整数，，使得；当时，存在正整数，使得；当时，存在正整数，使得。（第12B题）5、证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则（第

6、11题），所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.…………（20分）（第12题）6、解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有９www.czsx.com.cn解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得…………（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于

7、是CO＝4.又BO=2，所以.（第12题）设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）7、解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）（1）若，令，k是正整数，于是

8、，，故，从而.９www.czsx.com.cn所以解得…………（10分）（2）若，令，k是正整数.当时，有，，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是这不可能.当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）8、解：首先，如下61个数：11，