浅谈归纳法的一些应用

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1、【标题】浅谈归纳法的一些应用【作者】董琦【关键词】数学归纳法?Peano公理?最小数原理?应用【指导老师】焦合华【专业】数学与应用数学【正文】1?引言数学与其它科学不同的地方就在于：它是以公设和定义为基础，进而得到后来所有的定理。全部的定理都可以用这些公设、定义或已经成立的定理来推论或证明。与其它大部分的科学理论比起来，例如物理学的牛顿运动定律，通常以实验结果来说明，却从来不证明它是正确的。因此，仅仅用一些实验与观察来验证一个数学问题是不恰当的。例如：

2、费玛[1]?(Fermat,1601-1665)猜想当?是一个大于2的正整数时，方程式?没有正整数解。数学家努力试着寻找反例，也就是正整数解，但最后都失败了。如果没有严格的证明，我们不能断定费玛猜想是正确的。事实上，数学家花了超过三百年的时间来寻找证明，最后是由英国数学家安德鲁?怀尔斯[1]?(AndrewWiles)在1994年完成了证明。只用实验结果来推断或是猜想叙述的正确性是不可靠的。举个例子来说，你可以猜想：“对于所有的自然数?，??都是质数”【标题】

3、浅谈归纳法的一些应用【作者】董琦【关键词】数学归纳法?Peano公理?最小数原理?应用【指导老师】焦合华【专业】数学与应用数学【正文】1?引言数学与其它科学不同的地方就在于：它是以公设和定义为基础，进而得到后来所有的定理。全部的定理都可以用这些公设、定义或已经成立的定理来推论或证明。与其它大部分的科学理论比起来，例如物理学的牛顿运动定律，通常以实验结果来说明，却从来不证明它是正确的。因此，仅仅用一些实验与观察来验证一个数学问题是不恰当的。例如：费玛[1]?(Fermat,1601-1665)猜想当?是一个大于2的正整数时，方程式?没有正整数解。

4、数学家努力试着寻找反例，也就是正整数解，但最后都失败了。如果没有严格的证明，我们不能断定费玛猜想是正确的。事实上，数学家花了超过三百年的时间来寻找证明，最后是由英国数学家安德鲁?怀尔斯[1]?(AndrewWiles)在1994年完成了证明。只用实验结果来推断或是猜想叙述的正确性是不可靠的。举个例子来说，你可以猜想：“对于所有的自然数?，??都是质数”[2]。你可以很轻易地验证这句话：当?时，?是质数；当?时，?是质数等等依次类推。即使继续检验到?甚至?，你一定无法找到反例。然而这句话很显然是错的，因为当?时，式子等于?一定不是质数。当试验结果不足以保

5、证叙述的正确性时，也就无法证明叙述永远成立。例如你可以猜想：“对于所有的自然数?，?都成立”[3]。当然你可以很容易检验对一开始的?值，这句话是对的，甚至你可以特地检验前几百个或前几千个。可是，我们还不能断定这句话是对的。对于一些没有试验过的?值，谁又知道它是不是成立呢？想要把所有的?值都拿来检验是不可能的，因为自然数有无限多个。那么我们要如何去检验这句话呢？数学归纳法就是一个很有效的工具。本文是以Peano公理系统和自然数最小数原理为基础，探讨数学归纳法在证明解题中的应用以及在我们日常生活学习中的应用。2?关于数学归纳法的理论最简单和常见的数学归纳法

6、证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:?递推的基础:?证明当?时表达式成立。?递推的依据:?证明如果当??时成立，那么当?时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。?不要把整个第二步称为归纳假设。)?这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。数学归纳法是一种重要的证题方法，许多涉及正整数的问题，往往使用它．人们验算起始命题成立后，只要证明了递推依据（由?成立，可推出?成立）

7、就完成了数学归纳法的证明．2.1?Peano?公理系统?????数学归纳法合理性是建立在以下自然数公理系统〔4〕（Peano公理系统）基础上的．Peano把自然数集??定义为满足如下五条公理的集合．　　（1）???　　（2）任给??，则存在??且?（?为元素?的后面加个元素“1”，??称为?的后继数）　　（3）若??，则?（即?中任何元素不能作为?中多于一个元素的后继数）　　（4）任给???，则?（即1不是?中任一元素的后继数）（5）若?的任一子集?具有性质（1）、（2），则?（即集合?就含有集合?的所有元素）?下面用Peano公理证明数学归纳法的合理

8、性．记??表示含自然数??的某一命题，若（1）?为真命题；（2）任给?，若?真，则?真．则对一