浅谈数学归纳法的应用（精荐）

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1、浅谈数学归纳法的应用姓名：孙静静学号：200740510534指导教师：崔艳摘要数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种方法，应用广泛.数学归纳法的应用不仅仅体现在中学数学中，在高等数学命题的证明中也起着极为重要的作用•文中通过对范德蒙德行列式的证明、二次型标准化定理的证明、数学归纳法证明数列的单调性以及用数学归纳法证明整除问题、恒等式问题以及数学归纳法与其他知识点的交汇等问题来谈一谈数学归纳法在数学命题的证明上所突出的重要应用.关键词：数学归纳法应用引言：数学归纳法是一种数学证明方法.典型的用于确定一个表达式在所有自然数

2、范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点、指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是著名的结构归纳法.已知最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorum1ibriduo（1575年）.Maurolico证明了前“个奇数的总和是2".最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当"属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由以下两个步骤组成的・(1)、递推的基础：证明当〃时表达式成立；(2)递推的依据:证明假

3、设当“R时表达式成立，那么当n=k^时表达式也同样成立.(递推的依据中的“假设”为归纳假设，而不要把整个第二步都称为归纳假设)・归纳假设这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的•如果这两步都被证明是成立的，那么任何一个值的证明都是可以被包含在重复不断进行的过程中的•数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是已经规定的了•，然而它也可以用一些逻辑方法证明，在此就不予证明了.用数学归纳法进行证明表达式通常分为三个步骤：(1)归纳基础验证当“取第一个值时命题成立，这时就获得

4、了递推的基础,但是仅仅依靠这一步是不能说明结论的普遍性的.在验证时，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再多考虑几个正整数，即使命题对这几个正整数成立，也是不能保证命题对其他正整数也成立.(2)归纳递推假设当川斗时命题成立，证明当n=k+时命题成立•这样便获得了递推的依据，在此必不可少的便是第一步的基础，只有二者结合，才能获得普遍性的结论.(3)下结论最后得到普遍性的结论，即表达式成立.然而需要注意的有：用数学归纳法进行证明时，“归纳基础"和“归纳递推”二者缺一不可；在归纳递推中，递推之前、n=k时结论是不确定的

5、，因此必须有彳罠设二字•这一步的实质是证明命题心k时的正确性可以传递到+1时的情况，这样再加上递推基础，就能推得命题成立.1.范德蒙德行列式的证明行列式aala29an2称为〃级的范德蒙德(Vandermonde)行列式•我们来证明对于任意的,2(77^2),/7级范德蒙德行列式等于⑷宀，…色这刃个数的所有可能的差af-ai(1

6、“17a3■■•盗■■—0■■a2-U2aa2••■yH-l■J〃一1■0•—“一In-2l3…a2~ala2式an-3"3-“]7U3讥3alCln-2£an~2后面的行列式便是—i级范德蒙德行列式，rti假设可知结论成立•因此可得，结论对刃级范德蒙德行列式成立，根据数学归纳法完成了证明.即有aa2a3dia；ajan•-匂）成立.2•二次型标准化定理的证明定理：数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和d內24-d-）X2+•••+d„x:的形式.证明：对变量的个数〃作数学归纳法归时，二次型就是

7、f（x）=a^结论显然成立.现假定对“-1元的二次型，均有定理的结论成立•再设T（”1，.丄2.…劝j_工工aiixixj（肋）J=1J=1分三种情况讨论：（1）/=1,2,…周中至少有一个不是0,不妨设加0,此时有-fx]»x2，八)—aI",+〉:alj+):azi,t/xl':':«xjx；j=2x刈i=2#2j=2allX1+工d】】ajxi7=2+工工期心.，i=2j=2其中工工/叭W/=2,/=2zJ=22+工工叭"是一个兀2，兀3>***>X*的二次型.匸2j=2vI=a-1+工"11爲円'j=2

8、y2=x2.alJxj/x=y~^la\ajxj，,这是一个非线性替换,xnyn它使儿l,y)=allynxnX+工工期••由归纳法假定，对后者有非退心2j=2）J化线性替换能使其变成平方和的形式，于是就有非退化线性替换能使于（心2，…丄加+工心+工皿+莎叽.变成平方j=2xxji=2i=2j=2和的形式，