四元数矩阵学位论文.doc

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1、潍坊学院本科毕业论文引言随着当今时代的进步与发展，数学也在跟随着时代的步伐向前迈进.四元数矩阵在数学及其它学科领域的理论研究中有着广泛的应用，是四元数体上重要定理，它在矩阵的学习过程中占有很重要的地位.四元数矩阵的理论对于进一步的研究数学，对于对后续课程的学习起着举足轻重的作用.四元数矩阵的相关理论比较繁杂，又分生出各种层次的概念，对于本文的主要研究问题并不局限于四数元矩阵的表面，而是把这一部分进行深入的推广.四元数的背景与定义是最基本的讨论，要想真正理解四元数就要从它的产生和发展入手，四元数体就是发展中产生的外延，并且发展成主要的内容，所以对它的定义有必要深入

2、介绍，，.四元数矩阵的理论在各个方面的应用都比较广泛，特别是在物理学和数学上联系密切.我们通过运用四元数矩阵的各理论研究可以把矩阵中的基础性的内容转化为更为代数的解决方式，比如四元数矩阵的特征值、Jordan标准形、奇异值分解以及四元数矩阵的正定性四元数矩阵方程.本课题的研究目的：经过对四元数矩阵的多角度、全面性、多层次的认识，使我们对四元数矩阵更加了解，了解它的定义及背景以及定理证明，在实践中更加熟练的使用它，这也让我们明白它所具有独特性和重要性，在我们数学学科中的非同一般的位置.能够运用四元数矩阵的理论解决数学学习中遇到的有关于矩阵的一些基本问题.本课题的研

3、究过程：研究四元数的背景、意义及定义，接着讨论四元数体上的定义以及定理，最后对四元数矩阵理论进行推广.19潍坊学院本科毕业论文1.四元数的发展1.1背景四元数的发现离不开爱尔兰数学家哈密尔顿，是他对四元数进行了开创性的数学定义.四元数有它本身的独特性，也就是最有意思的一面，在数学学科中乘法交换律是公认的基础原则，但对四元数却是无约束的存在，所以四元数有它的独特魅力.也就是说，四元数是复数的不能交换延伸.假如把四元数的集合研究成多维实数空间的话，四元数就表示为一个四维空间，相当于复数为二维空间.四元数是除环(除法环）的一个事例,除了不包含乘法的交换律以外，除法环与

4、域是类似的.尤其是，乘法的结合律一直存在、非零元素一直是唯一的逆元素.四元数表示成一个在实数上的四维结合代数（实际上是除法代数），并且包括复数，但是不和复数形成结合代数.四元数（及其实数和复数）仅仅是有限维的实数结合除法代数.四元数的不可交换性通常致使一系列使人意外的结论，比如四元数的阶多项式可以有大于个不同的根.四元数是由哈密尔顿在1843年爱尔兰展现的.那是他正探究扩展复数到更高的维次（复数可看成平面上的点）,他无法做到三维空间的事例，但是四维就产生四元数.依据哈密顿记述，他在10月16日和他的妻子在都柏林的皇家运河（RoyalCanal）上散步时一下子想到

5、.随后哈密顿马上把这个方程刻在附近布鲁穆桥（BroughamBridge，现在称为金雀花桥BroomBridge）.这个方程舍弃了交换律，是那是一个极端的想法（当时还没有发现向量和矩阵）.不仅如此，哈密顿还发现了向量的内外积.于是，他把四元数打造成一个有序的四重实数：一个纯量（）和向量（）的结合.假如两个纯量部为零的四元数相乘，得到的纯量部就是一开始的两个向量部的纯量积的负值，然而向量部就是向量积的值，但是它们的重要性一直有待挖掘.对于四元数的研究，由于它的广泛性，所以存在大量的实例对它的推广，但总体概括来说有两部分的内容：一方面它是复矩阵代数的扩大，就如实剖析

6、发展到复分析那样充满活力和朝气；另一方面它来自许多其他学科工程的应用背景.从1843年英国数学家Hamilton建立四元数理论入手，其最开始的目标是为考虑空间矢量找到近似办理平面题目中使用的复数方式.但因为那是数学器材的局限，四元数最开始只是在刚体定位问题中得到一些相对比较简单的应用，未能解决工程技术中的实际问题，所以，它的优越性那时还未能够表现出来，在一个世纪中并未得到什么发展，更不用说在实际工程中的应用.从20世纪中期以来，人们把复平面推行到四维空间后，察觉使用四元数和四元数矩阵能够解决实际中的许多问题.于是关于四元数和四元数矩阵的研究又被无数学者推到高潮，

7、成为大家不断进行信息发掘的热点问题.1.2含义对于四元数的辩论很对人对哈密顿都是嗤之以鼻，四元数在开始的地位低入谷底，以为它经不过时间的推敲.但是在20世纪40年代以后，很多科学家从迷雾中走出来，不在把它单纯的局限于物理学方面，大家对哈密顿发现的四元数有了全新的认识，就是在代数方面的影响.19潍坊学院本科毕业论文这样的事情也发生在几何学中，在非欧几何还没发现前，几何学也是陷入了泥潭中，是非欧几何让它重新焕发了光彩.四元数的独特之处就是任性的不满足于乘法交换律，也是首个被发现的这样的数学目标.于是代数系统就发生了日新月异的变化，实数和复数不在孤单，而是形成了框架和

8、组合.任何事情都不是简单