一轮复习配套讲义：第12篇 第2讲 直接证明与间接证明

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1、第2讲　直接证明与间接证明[最新考纲]1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分

2、条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．辨析感悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(2)反证法是指将结论和条件同时否

3、定，推出矛盾．(×)(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(√)(4)证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法．(√)[感悟·提升]两点提醒　一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定

4、理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.考点一　综合法的应用【例1】(2013·新课标全国Ⅱ卷)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋

5、≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.学生用书第203页规律方法综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．【训练1】(1)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋＞3.证明　(1)∵a＋b＝1，∴＋＋＝＋＋＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时，等号成立．(2)∵a，b，c全不相等，且都大于0.∴与，与，与全不相等，∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，三式相加得＋＋＋＋＋＞6，∴＋＋

6、＞3，即＋＋＞3.考点二　分析法的应用【例2】已知a＞0，求证：－≥a＋－2.审题路线　从结论出发⇒观察不等式两边的符号⇒移项(把不等式两边都变为正项)⇒平方⇒移项整理⇒平方⇒移项整理可得显然成立的结论．证明　(1)要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.∵a＞0，故只需要证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只需要证2≥，只需要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．规律方法(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利

7、获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．【训练2】已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．考点三　反证法的应用【例3】等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项a

8、n与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解　由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.即(q＋)2＝(p＋)(r