追及问题种类及其分析

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1、追及问题种类及其分析湖北应城一中何飞432400两个物体在同一条直线上运动，两物体间的距离发生变化时，可能会出现最大距离、最小距离或者是相遇的情况，我们把这类问题称为追及相遇问题。相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇，可见相遇问题即是追及问题。一、追及问题分析：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者相距有极值的临界条件。速度大者减速（如：匀减速直线运动）追速度小者（如：匀速直线运动）：①.两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离；②.若速度相

2、等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件；③.若位移相同时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值。速度小者加速（如：初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如：匀速直线运动）：①.当两者速度相等时，二者间有最大距离；②.当两者位移相等时，即后者追上前者。二、追及问题分类：1.匀加速追匀速①.图像：如图1所示。②.分析：能追及且只能相遇一次，相遇时刻，如图中，两阴影部分面积相等时即相遇。以后匀加速的速度越来越快，匀速的追不上匀加速的了，故只能相遇一次。③.交

3、点意义：速度相等（时刻），此时两物体相距最远，以后距离逐渐的减小，直到追及为止。2.匀减速追匀速：①.图像：如图2所示。②.分析：当时，.若，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；.若，则不能追及；若（即当时，），此时能相遇两次（为开始追及时两物体的距离）。③.交点意义：速度相等时若还未追及则距离最远（用此可以来判断相遇几次）。3.匀速追匀加速：①.图像：如图3所示。②.分析：在时，.若，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；.若，则不能追及；若（即当时，），此时能相遇两次（为开始追及时两物体

4、的距离）。③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离。4.匀速追匀减速：①.图像：如图4所示。②.分析：能追及且只能相遇一次（即在时刻，两阴影部分面积相等）。③.交点意义：速度相等时（即时刻），两物体相距最远。5.匀加速追匀减速：①.图像：如图5所示。②.分析：能追及且只能相遇一次（即在时刻，两阴影部分面积相等）。③.交点意义：速度相等时（即时刻），两物体相距最远。6.匀减速追匀加速：①.图像：如图6所示。②.分析：在时，.若，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；.若，则不能追及；若（即当时，），此时能相遇两

5、次（为开始追及时两物体的距离）。③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离。三、追及问题方法：在处理追及相遇问题的时候，往往用到的下列方法：1.物理分析法；2.相对运动法；3.极值法；4.图像法。例：火车以速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距处有另一火车沿同方向以速度做匀速运动，已知，司机立即以加速度紧急刹车，为使两车不相撞，加速度大小应满足什么条件？解析：方法一（物理过程分析法）：后车刹车后虽然做匀减速运动，但在速度减小到和相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大，可见，当两车速度相等

6、时，两车距离最近，若后车减速的角速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，这根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度。综合上述分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：联立上式可解得：所以：当时，两车即不会相撞。方法二（数学极值法）：要使两车不相撞，其位移关系应为：即：对于位移和时间，上面不等式都成立的条件为：由此得：

7、所以：当时，两车即不会相撞。方法三（相对运动法）：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速为、加速度为的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移，则不会相撞。由得：得：所以：当时，两车即不会相撞。方法四（图像法）：作出前后两车的图像，如下图7所示，由此图可直观看出：要使两车不相撞，只要满足图中阴影部分的那个三角形的所谓面积小于或等于即可。在阴影部分的三角形中，由图线的物理意义知：，得：所以：所以：当时，两车即不会相撞。