2010高考复习数学亮点试题（解析几何部分）

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1、2010高考复习数学亮点试题（解析几何部分）李春龙（江苏省扬州市第一中学）【题目】1.如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，三角形ABC的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．(1)求双曲线的方程；(2)若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析提示】(1)设双曲线的方程为，则．由，得，即．∴解之得，∴．∴双曲线的方程为．(2)设在轴上存在定点，使．设直线的方程为，．由，得．即①∵，，∴．7即．②把①代入②，得③

2、把代入并整理得其中且，即且．．代入③，得，化简得．当时，上式恒成立．因此，在轴上存在定点，使．【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学生对双曲线有关知识的理解，本题主要训练学生对平面向量的概念和有关垂直性质的应用；双曲线的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识，训练存在性问题的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.【题目】2.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在

3、点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得7由，所以证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即由，所以（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当

4、时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当

5、时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.

6、设点Q的坐标为（），则因此①7由得②将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是③④（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，，由，，，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是③④由④得上式代入③得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，记，由知，所以【亮点、新颖原因】7本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学生对椭圆有关知识的理解，本题主要训练学生对平面向量的概念，椭圆的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识，训练轨迹方程的求法和应用，以及综合运用数学

7、知识解决问题的能力.【题目】3.如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.【解析提示】：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.由y=x2，①得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=－=-，∴直线l的方程为y－x12=－(x－x1)，②方法一：联立①②消去y并整理，得x2+x－x12－2=0.∵M是PQ的中点x0==-，∴y

8、0=x12－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，7则x0==kl=-，∴x1=－，将上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则.y=x2由y=kx+b消去x，得y2－2(k2+b)

9、y+b2=0.③则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.方法一：∴

10、b

11、()≥2

12、b

13、=2

14、b

15、=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+）.方法二：∴=

16、b

17、=

18、b

19、.当b>0时，=b==+2>2；当b<0时，=－b=.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>－2b.所以>=2.7∵当b>0时，可取一切正数，∴的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1