高中数学立体几何中的向量方法

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1、红豆在线文档分享平台(http://www.hongdoc.com)3.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题.[来源:学

2、科

3、网Z

4、X

5、X

6、K]例1如图,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.分析:由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐标系.用向量法求解,就是求出过B且垂直于平面EFG的向量,它的长即为点B到平

7、面EFG的距离.解:如图,设4i,4j,2k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C-xyz.由题设C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2).∴ ,,    ,,.设平面EFG,M为垂足,则M、G、E、F四点共面,由共面向量定理知,存在实数a、b、c,使得,∴ =(2a+4b,-2b-4c,2c).由平面EFG,得,,于是  ,.∴ 整理得:,解得.∴ =(2a+4b,-2b-4c,2c)=.红豆在线文档分享平台(

8、http://www.hongdoc.com)∴ 故点B到平面EFG的距离为.说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了.例2已知正方体ABCD-的棱长为1,求直线与AC的距离.分析:设异面直线、AC的公垂线是直线l,则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段,所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解.解:如图,设i,j,k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系-xyz,则有,,,.∴ ,,.设n

9、是直线l方向上的单位向量,则.∵ n,n,∴ ,解得或.取n,则向量在直线l上的投影为   n··.由两个向量的数量积的几何意义知,直线与AC的距离为.www.ks5u.com

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