步长和差分格式对一维非稳态导热数值计算的影响

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1、步长和差分格式对一维非稳态导热数值计算的影响司广树α刘金平杨泽亮(华南理工大学电力学院,广东广州510640)摘要:以一个一维非稳态导热问题为例,研究了不同的步长和差分格式对计算结果的影响。研究表明:空间步长不能选得过大,否则会使得网格数较少,计算误差增加;空间步长一定时,计算结果随傅立叶数变化而波动,且波动幅度因空间步长的增加而加剧;空间步长较大时,从显式格式、Crank2Nicolson格式到全隐格式的计算精确度逐渐变差。另外,显式格式计算结果的合理性较强依赖于傅立叶数的取值;Crank2N

2、icolson格式只在空间步长较大时,才显示出这种依赖性;而全隐格式没有此类问题。关键词:非稳态导热;数值计算;傅立叶数;单元数;差分格式中图分类号:TK11+2文献标识码:A文章编号:100829446(2002)0120010203非稳态导热是工程实际中常见的现象。本文以一个一维非稳态导热问题为研究对象,采用有限差分法,数值研究了网格划分中的空间步长和时间步长对计算结果的影响,并探讨了显式格式1、全隐格式2和Crank2Nicolson格式3等三种不同差分格式对计算结果准确性和稳定性的影响。

3、该问题可看作对实际工程中存在的一维非稳态导热问题的简化和改造。研究对象及其数学模型本文的研究对象是如图1所示的大平壁。壁厚为L=1m、热扩散率为a=1.14m2ƒh,壁内的电热器使其保持为稳定状态。初始温度分布为:t=100+400sin(Πx)。时间Σ=0时突然切断电流,并将两侧壁温控制在100℃不变。现要研究壁内最高温度下降到低于150℃时所需的时间。显然这是一个一维非稳态导热问题,且壁内沿x方向的温度分布是对称的,温度最高点恰在大平壁的中间界面(即x=0.5m处)。由于此问题中满足几何对称

4、和热对称,所以可以只对大平壁的左半部分(0ΦxΦ0.5m)进行数值研究,并建立图示的坐标(参见文献1)。这一数值研究对象的数学模型如下1-3:12at=aataΣax2Σ=0,0ΦxΦ0.5,t=100+400sin(Πx)x=0,Σ=100℃x=0.5,at=0ax数值计算过程首先,对要研究的大平壁部分进行均匀网格划分,网格单元数分别取2图12、4、8、16和32等五种情况(相应的各自的节点数为3、5、9、17、33)。其次,针对上面数学模型,采用有限差分法建立离散方程,其中离散方程的形式因采

5、用的差分格式不同而有所不同。与显式差分格式和全隐式差分格式对应的一维离散方程形式可参见文献2和文献3。本文采用的Crand2Nicolson格式(参见文献3)是上述两种差分格式的算术平均化,即把某一时间步长前后的二阶空间差分的平均值当作α收稿日期:2001209225作者简介:司广树(19672),男,华南理工大学电力学院,讲师。主要从事工程热物理方面的教学和科研工作。司广树,等:步长和差分格式对一维非稳态导热数值计算的影响·11·该时间步长内的二阶空间差分,其具体形式如下:ti+1ii+1i+

6、1i+1iii-tmatm-1-2tm+tm+1tm-1-2tm+tm+1m=2[+]∃Σ(∃x)2(∃x)2上式中:a—热扩散率;∃x—空间步长;∃Σ—时间步长;tim-i·∃Σ时刻、(m-1)·∃x处的温度。最后,根据上面各种格式的差分方程编程计算。正式计算前,先针对文献1中研究的具体情况(Fo=1ƒ3,单元数=2)以上面三种格式分别进行数值计算,发现程序的计算结果与文献1中以显示格式笔算的结果完全相同(所需时间为11.09min),证明了程序的正确性。正式计算时,先保持某种差分格式不变,再

7、对上面提到各种单元数分别进行计算,最后改变差分格式重复前面计算,每次程序计算中改变的量是傅里叶数(Fo=a·∃Σ傅里叶数的变化范围随着差分格式的不同而有所不同,总的来说,其值在0.∃x2),008～16.0之间。3数值计算结果及说明3.1显式格式的计算结果及其说明显式差分格式的计算结果如图2和图3所示。由于显式差分格式的稳定性判据要求傅里叶数的取值应在一定范围之内(对于本文研究的情况,其值在0～0.5之间,见文献1～3),所以图2和图3的横坐标范围取0.008～0.48。从图2和图3可以得出:1

8、、网格单元数较少时的计算结果随傅里叶数变化的准确值附近有明显的波动,且波动程度随傅里叶数增加而加剧。此时在小傅里叶数区,波动相对较弱,但计算结果与网格单元数较多时有较大差距,如单元数为2、4和8时的情况。2、网格单元数较多时的计算结果随傅里叶数增加无太大波动,且此时各种单元数下的计算结果均十分接近,如单元数为16和32时的情况,见图3。3、计算结果合理性对傅里叶数的依赖程度与网格单元数的多少有关,本文计算表明:随着网格单元数的增加,计算结果的合理性对傅里叶数的限制越严格,越要求其值位于稳定性判据