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时间:2018-07-08
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1、几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知:如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AD﹤(AB+AC) 分析:要证明AD﹤(AB+AC),就是证明AB+AC>2AD,也就是证明两条线段之和大于第三条线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中的三条线段共点,没有构成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中,出现了2AD,即中线AD应该加倍。 证明:延长AD至E,使DE=AD,连CE,则AE=2AD。 在△ADB和△
2、EDC中, ∴△ADB≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又在△ACE中, AC+CE>AE ∴AC+AB>2AD,即AD﹤(AB+AC) 小结:(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。 课题练习:中,AD是的平分线,且BD=CD,求证AB=AC9例2:中线一倍辅助线作法△ABC中方式1:延长AD到E,AD是BC边中线使DE=AD,连接BE方式2:间接倍长作CF⊥AD于F,延长MD到N,作BE⊥AD
3、的延长线于E使DN=MD,连接BE连接CD例3:△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围例4:已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE9课堂练习:已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF例5:已知:如图,在中,,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分课堂练习:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:∠C=∠BAE作业:1、在
4、四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论92、已知:如图,DABC中,ÐC=90°,CM^AB于M,AT平分ÐBAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证:CT=BE.3:已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF4:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:∠C=∠BAE5、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为
5、BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论(二)截长补短法例1.已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求证:∠BAD+∠BCD=180°.9分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.图1-1证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,
6、在Rt△ADE与Rt△CDF中,图1-2∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,即∠BAD+∠BCD=180°例1.如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.图2-1求证:CD=AD+BC.图3-1例3.已知,如图3-1,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.求证:∠BAP+∠BCP=180°.图4-1例4.已知:如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求证:AB=
7、AC+CD.9作业:1、已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:BE+DF=AE.2、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:AD平分∠CDE(三)其它几种常见的形式:1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。例:如图1:已知AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF。92、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。例::如图2:AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF
8、练习:已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图4,求证EF=2AD。3、延长已知边构造三角形:例如:如图6:已知AC=BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,求证:AD=BC94、连接四边形的对角线,把四边形的
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