几何证明-添辅助线

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1、一）添加辅助线构造全等三角形 例1.已知：AB∥CD，AD∥BC。      求证：AB＝CD      分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。    （二）截长补短法引辅助线      当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。      通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。 例2

2、.如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。      求证：AB＝AC＋CD      证法一：（补短法）      延长AC至点F，使得AF＝AB      在△ABD和△AFD中            ∴△ABD≌△AFD（SAS）      ∴∠B＝∠F      ∵∠ACB＝2∠B      ∴∠ACB＝2∠F      而∠ACB＝∠F＋∠FDC      ∴∠F＝∠FDC      ∴CD＝CF      而AF＝AC＋CF      ∴AF＝AC＋CD      ∴AB＝A

3、C＋CD      证法二：（截长法）      在AB上截取AE＝AC，连结DE      在△AED和△ACD中            ∴△AED≌△ACD（SAS）              例3.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。      分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△A

4、CF，得BD＝CF。      证明：分别延长BA、CE交于点F      ∵BE⊥CF      ∴∠BEF＝∠BEC＝90°      在△BEF和△BEC中            ∴△BEF≌△BEC（ASA）            ∵∠BAC＝90°，BE⊥CF      ∴∠BAC＝∠CAF＝90°，∠1＋∠BDA＝90°，∠1＋∠BFC＝90°      ∴∠BDA＝∠BFC      在△ABD和△ACF中            ∴△ABD≌△ACF（AAS）      ∴BD＝C

5、F      ∴BD＝2CE （三）加倍法和折半法      证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。 例4.已知：如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝DC，∠BAD＝∠BDA。      求证：AC＝2AE      分析：欲证AC＝2AE，只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是△ABD的中线，故考虑延长AE

6、至F，使EF＝AE，证AF＝AC。（此种方法我们又称为中线倍长法）      只要证△ABF≌△ADC，观察图形发现，可以证明△ADE≌△FBE，则可得出BF＝AD，尚需条件∠ADC＝∠FBA，而这可由外角的性质推出。      证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结BF      ∵AE是△ABD的中线      ∴BE＝ED      在△BEF和△DEA中            ∴△BEF≌△DEA      ∴∠EBF＝∠BDA，BF＝DA      ∵∠BAD＝∠BDA      ∴∠

7、EBF＝∠BAD            在△ADC和△FBA中            ∴△ADC≌△FBA      ∴AC＝AF      又∵AF＝2AE      ∴AC＝2AE