最近几年清华北大等高校的自主招生和保送生部分数学试题

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1、河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(1)文科做题，理科做题，每题20分，满分100分。1.已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。2.求过抛物线与的交点的直线方程。3.在等差数列中，，，为其前项和。问数列中哪一项最小？并求出最小项值。4.在中，若，证明：。5.是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？证明你的结论。6.设和是平面上两个不重合的固定圆周，是该平面上的一个动圆，它与和均相切。问：的圆心轨迹是何种曲线？说明你的理由。7.求函数的最小值。河南省济源第一

2、中学数学教研室自主招生数学试题(2)1.设复数满足且，则。2.在正四棱锥中，分别为的中点，且侧面与底面所称的二面角的正切为，则异面直线与所成角的余弦为。3.曲线的切线过点，但点不是切点，则该切线的斜率是。4.若，则的最小值和最大值分别为。5.如图，与外切于点，、都内切于，设，则()。6.已知异面直线成角，为空间一点，则过与都成角的平面()。有且只有一个有且只有两个有且只有三个有且只有四个7.已知向量则的最小值为。8.为过抛物线的焦点的弦，为坐标原点，且，为抛物线的准线与轴的交点，则的正切值为。9.如图，已知的面积为，分别为边

3、、边上的点，为线段上一点，设，且，则面积的最大值为。10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）。存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形河南省济源第一中学数学教研室任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形1.已知不是直角三角形。证明：；若，且的倒数成等差数列，求的值。2.已知圆柱形水杯质量为克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为克的水恰好

4、装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。若，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？3.已知函数。令。求数列的通项公式；证明：。4.已知双曲线分别为的左右焦点。为右支上一点，且使，又的面积为。求的离心率；设为的左顶点，为第一象限内上的任意一点，问是否存在常数,使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。5.将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示未出现连续次正面的概率。求，，，；探究数列的递推公式，并给出证明；讨论数列的单调性及其极限，并阐述该

5、极限的概率意义。河南省济源第一中学数学教研室自主招生数学试题(3)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为(A)(B)(C)(D)(2)设向量，满足，，则的最小值为(A)2(B)(C)1(D)(3)如果平面，，直线，，点，满足：，，，，，且与所成的角为，，与所成的角为，那么

6、与所成角的大小为(A)(B)(C)(D)(4)在四棱锥中，，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为(A)(B)(C)(D)(5)在中，三边长，，满足，则的值为(A)(B)(C)(D)(6)如图，的两条高线，交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为(A)(B)(C)(D)(7)设。过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是河南省济源第一中学数学教研室(A)(B)(C)(D)(8)设双曲线，椭圆。若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段

7、的长为(A)(B)(C)(D)(9)欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为(A)6(B)(C)(D)(10)设定点、、、是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的旋转。设表示变换的复合，先作，再作，则可以表示为(A)(B)(C)(D)二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(11)(本题满分14

8、分)在中，已知，外接圆半径。（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求面积的最大值。(12)(本题满分14分)设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线。设到直线，直线的距离分别为，已知。（Ⅰ）判断是锐角三角形直角三角形钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（Ⅱ）若的面