用待定系数法求三角函数最值

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1、用待定系数法求三角函数最值武增明用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。例1.设x∈（0，π），求函数的最小值。分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。因为sinx＞0，所以。故ymin=2。显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由得sinx=2，这样的x不存在，故为错解。事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=

2、”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使。由均值不等式及正弦函数的有界性，得。当且仅当且sinx=1，即λ=时，上式等号成立。将λ=代入，得ymin=。另解：y=。令sinx=t(0＜t≤1＝，易证在（0，1]上单调递减，所以。例2.当x∈(0，)时，求函数的最小值。分析：因为x∈(0，)，所以sinx＞0，cosx＞0，引入大于零的待定系数k，则函数第3页（共3页）------------------------------------------------------------

3、---------------------------------------------------------------------------可变形为+kcos2x－k≥3+－k=12，等号成立当且仅当，时成立。由sin2x+cos2x=1,。得，即k2=64，又k＞0，所以k=8。故函数y的最小值为，此时x=。例3.设x∈(0，)，求函数y=sinx+的最小值。分析：因为x∈(0，)，所以sinx＞0，y=sinx+可变形为。由均值不等式得。但，故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。解：因为x∈(0，)，所以sinx＞0。因为故≥，等号

4、当且仅当且sinx=1，即k=时等号同时成立。从而，故函数y=sinx+的最小值为2。例4.求函数y=sin2x·cos2x+的最小值。分析：易得，由均值不等式得。第3页（共3页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------但，故上式不能取等号。于是引入待定正实数λ，μ，且λ+μ=4，则有=≥≥。当且仅当且sin22x=1时等号同时成立

5、，此时，所以当sin22x=1时，y有最小值为。第3页（共3页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------