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时间:2018-07-08
《《计算方法》课件第七章 常微分方程数值方法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章常微分方程数值方法(2学时)《计算方法》课程讲义课件大连海事大学计算机科学与技术学院学院内容提要§7.0引言§7.1Euler法§7.2Runge-Kutta法习题七第七章答案§7.0引言在科学技术中,常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题中的最基本形式,就是本章讨论的一阶常微分方程的初值问题。(7-1)虽然求解常微分方程初值问题已经有了一些解析方法,但是:这些解析方法只能求解某些特殊类型的方程。因而,在实际中出现的许多有价值的问题,主要还得靠数值方法来求解。返回引用所谓数值方法:不是寻求初值问题的解的解析表达式;而是
2、求出在一系列离散节点a=x03、故Euler法又称Euler折线法(见图7-1)。xy01图7-1Euler折线0.01解:返回引用返回节二、梯形公式或对右端的积分应用数值积分,1)若采用左矩形公式(取左端点),则会得到Euler公式(7-3),2)若采用数值积分梯形公式,则有梯形公式具有2阶精度。离散化后,就得到梯形公式及误差公式返回引用用梯形公式求解例7.1。例7.2解:由式(7-6),有返回引用返回节梯形公式比Euler公式精度高,但属于隐式公式,不利于使用计算机求解。把公式(7-3)及(7-6)联合使用,前一个提供预测值,后一个予以校正,就得到----4、改进的Euler公式又称一次校正法。式(7-8)也可写成三、改进的Euler公式(7-8)返回引用预测值校正值用改进Euler公式计算初值问题解:计算结果如下:例7.3下面,我们给出改进Euler法的计算步骤和算法流程图计算步骤②yp=y+hf(x,y),x=x+h③输出(x,y)④如果x5、7-2改进Euler法算法流程图N返回章返回节§7.2Runge-Kutta法一、Taylor级数法二、Runge-Kutta法的基本思想三、二阶Runge-Kutta公式四、四阶Runge-Kutta公式本节介绍在实际中经常使用的高精度的常微分方程数值解法------Runge-Kutta法,简记为R-K公式。一、Taylor级数法返回引用将y的各阶导数代入Taylor展开式,就得到:具有p阶精度的数值解公式(7-12)返回引用误差项(7-13)返回节返回引用二、Runge-Kutta法的基本思想返回引用Runge-Kutta6、公式的一般形式是(7-15)返回引用返回节下面就m=2推导二阶Runge-Kutta公式。三、二阶Runge-Kutta公式返回引用(7-16)其中:代入式(7-16)第一式,得所以,得方程组返回引用这是含有4个未知数的、由3个方程所组成的方程组:它有无穷多组解;因而可以指定其中任意一个未知数。恰好就是我们前面所得到的改进Euler公式。返回引用又称变形的Euler公式。把系数满足式(7-19)的数值解公式,统称为二阶Runge-Kutta公式,它具有2阶精度。返回节按照上述的推导步骤,令p=m=4,通过比较复杂的推导,可以得到7、一族具有四阶精度的Runge-Kutta公式。其中,最常用的标准四阶Runge-Kutta公式四、四阶Runge-Kutta公式由上面,可以看出:Runge-Kutta法是通过多计算f的函数值的办法,避开了Taylor级数中的f的导数计算。在这个意义上,可以说:Runge-Kutta法是Taylor级数法的一种变形,而且四阶以下的Runge-Kutta公式,其级数与阶数(精度)是一致的(即m=p)。但高于四阶的公式:其级数要大于精度的阶数,即m>p,因而工作量大大增加。因此,对于一般实际问题,四阶公式就够用了。例7.4用标准四阶8、Runge-Kutta公式,解初值问题解:先给出解本题目的具体标准四阶R-K公式。(下页)取h=0.2,计算结果为应当注意:高阶R-K公式的推导是基于初值问题的解y(x)的Taylor展开,因而要求y(x)具有较好的光滑性。如果解y(x)的光滑性较差虽然使用高精
3、故Euler法又称Euler折线法(见图7-1)。xy01图7-1Euler折线0.01解:返回引用返回节二、梯形公式或对右端的积分应用数值积分,1)若采用左矩形公式(取左端点),则会得到Euler公式(7-3),2)若采用数值积分梯形公式,则有梯形公式具有2阶精度。离散化后,就得到梯形公式及误差公式返回引用用梯形公式求解例7.1。例7.2解:由式(7-6),有返回引用返回节梯形公式比Euler公式精度高,但属于隐式公式,不利于使用计算机求解。把公式(7-3)及(7-6)联合使用,前一个提供预测值,后一个予以校正,就得到----
4、改进的Euler公式又称一次校正法。式(7-8)也可写成三、改进的Euler公式(7-8)返回引用预测值校正值用改进Euler公式计算初值问题解:计算结果如下:例7.3下面,我们给出改进Euler法的计算步骤和算法流程图计算步骤②yp=y+hf(x,y),x=x+h③输出(x,y)④如果x
5、7-2改进Euler法算法流程图N返回章返回节§7.2Runge-Kutta法一、Taylor级数法二、Runge-Kutta法的基本思想三、二阶Runge-Kutta公式四、四阶Runge-Kutta公式本节介绍在实际中经常使用的高精度的常微分方程数值解法------Runge-Kutta法,简记为R-K公式。一、Taylor级数法返回引用将y的各阶导数代入Taylor展开式,就得到:具有p阶精度的数值解公式(7-12)返回引用误差项(7-13)返回节返回引用二、Runge-Kutta法的基本思想返回引用Runge-Kutta
6、公式的一般形式是(7-15)返回引用返回节下面就m=2推导二阶Runge-Kutta公式。三、二阶Runge-Kutta公式返回引用(7-16)其中:代入式(7-16)第一式,得所以,得方程组返回引用这是含有4个未知数的、由3个方程所组成的方程组:它有无穷多组解;因而可以指定其中任意一个未知数。恰好就是我们前面所得到的改进Euler公式。返回引用又称变形的Euler公式。把系数满足式(7-19)的数值解公式,统称为二阶Runge-Kutta公式,它具有2阶精度。返回节按照上述的推导步骤,令p=m=4,通过比较复杂的推导,可以得到
7、一族具有四阶精度的Runge-Kutta公式。其中,最常用的标准四阶Runge-Kutta公式四、四阶Runge-Kutta公式由上面,可以看出:Runge-Kutta法是通过多计算f的函数值的办法,避开了Taylor级数中的f的导数计算。在这个意义上,可以说:Runge-Kutta法是Taylor级数法的一种变形,而且四阶以下的Runge-Kutta公式,其级数与阶数(精度)是一致的(即m=p)。但高于四阶的公式:其级数要大于精度的阶数,即m>p,因而工作量大大增加。因此,对于一般实际问题,四阶公式就够用了。例7.4用标准四阶
8、Runge-Kutta公式,解初值问题解:先给出解本题目的具体标准四阶R-K公式。(下页)取h=0.2,计算结果为应当注意:高阶R-K公式的推导是基于初值问题的解y(x)的Taylor展开,因而要求y(x)具有较好的光滑性。如果解y(x)的光滑性较差虽然使用高精
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