用终值定理计算自控原理中的稳态误差-科创学院-刘静

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1、用终值定理计算自控原理中的稳态误差刘静（Liujing）（重庆科创职业学院机械与电子工程学院，重庆永川402160）[摘要]本文介绍了用终值定理计算稳态误差的方法，并通过实例说明应用这种方法计算简捷，对课堂教学有较好的效果。[关键词]终值定理；干扰误差；给定误差；传递函数[中图文分类号][文献标识码][文章编号]在自动控制原理中，控制系统的稳态误差是表征控制系统稳态准确度（即控制精度）的重要性能。通过求e(t)响应表达式来求稳态误差，高阶系统相当复杂，如：ess(t)=C0dr(t)+C1dr(t)+C2dr(t)+…，而采用终值定理计算则

2、要简单得多。1稳态误差的基本概念系统的误差e(t)一般定义为希望值与实际值之差。即e(t)=希望值—实际值，对于图1所示系统典型结构，其误差的定义有两种：（1）e(t)=r(t)—c(t)（2）e(t)=r(t)—b(t)图1典型系统结构图当图1中反馈通道H(s)=1，即单位反馈时，则上述两种定义统一为e(t)=r(t)—c(t)，它反映了系统跟踪输入信号r(t)和抗干扰n(t)的整个过程中的精度。误差信号的稳态分量叫做控制系统的稳态误差[1]，记为ess(t)，若时间t趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为。2稳态误差的计算方法用拉

3、普拉斯变换的终值定理计算稳态误差Ess(t)比求解系统的误差响应e(t)要简单得多。拉普拉斯变换终值定理为：，式中F(s)为的拉氏变换。应用终值定理计算稳态误差：。由上式可看出：利用终值定理计算稳态误差ess，实质问题归结为求误差e(t)的拉氏变换E(s)。由图1所示系统，求在输入信号和干扰作用下误差的拉氏变换式E(s)：E(s)=R(s)—B(s)（1）式中B(s)为反馈量，其表达式为：（2）式中为反馈量B(s)对输入量R(s)的闭环传递函数，为反馈量B(s)对干扰R(s)的闭环传递函数。将（2）式代入（1）式得（3）由图1可求出（4）称

4、为系统对输入信号的误差传递函数。（5）称为系统对干扰的误差传递函数[2]。由式（3）（4）（5）可将E(s)改写成：ER(s)为输入信号引起的误差的拉氏变换，EN(s)为干扰引起的误差的拉氏变换。3应用举例例1、系统结构如图2所示，当输入信号r(t)=1(t)，干扰信号n(t)=1(t)时，求系统总的稳态误差ess。图2例1系统结构图解：第一步，判别稳定性，由于是一阶系统，所以只要参数k1、k2大于零，系统就稳定。第二步，求E(s)：由结构图2，并根据式（4）（5），得又知输入信号r(t)=1(t)，干扰信号n(t)=1(t)，所以，，则第

5、三步，应用终值定理计算稳态误差ess例2、求图3所示系统的总的稳态误差。误差e=r—c。图3例2系统结构图解：（1）判别稳定性，本系统是二阶系统，闭环特征方程5s2+s+1200=0，每项系数大于0，所以闭环稳定。（2）求essr。n(t)=0，由结构图3知：r(t)=1(t)所以（3）求essNr(t)=0，n(t)=0.11(t)所以（4）求essess=essr+essN=0+（-0.1）=-0.14结束语应用终值定理求稳态误差计算简单，但应注意：（1）必须明确终值定理的应用条件。应用条件是e(t)的拉氏变换E(s)在s右半平面及虚轴

6、上解析，即没有极点。计算时首先应判断系统的稳定性。（2）要注意区分误差信号与偏差信号。偏差信号指输入信号与输出信号的差。单位反馈系统中，两者相等，非单位反馈系统要严格定义进行误差信号计算。如例2中e=r—c，求N(t)带来的误差e=0-c，所以。仔细分析误差e的位置，切不可盲目认为e=r—c，避免出现错误。参考文献[1]孙虎章，自动控制原理.中央电大出版社，1994：152-176[2]陶琳，自动控制原理学习指导.中央电大出版社，1994：65-70ComputingStabletoleranceofauto-controlbyusingF

7、inal-valuetheoremLiuJing(MachineandElectricalEngineeringSchool,ChongqingCreationVocationalCollege,Chongqing402160,China)Abstract:ThisarticleintroducedthemethodofcomputingStabletolerancebyusingFinal-valuetheorem,andthroughtheexampleexplainedappliesthismethodcomputationtobes

8、impleanddirect,hasthegoodeffecttotheclassroominstruction.Keywords:netresulttheorem;distur