则可用z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差

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1、班级：02020902姓名：虞伶俐学号：2009302954稳态误差公式证明及应用条件1.计算稳态误差的前提条件：系统稳定。2.概念：a.稳态误差是在系统稳定的情况下描述系统稳态性能的一种指标，若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。3.系统一．线性定常连续系统：系统的稳态误差有两种表述形式，从输入端定义（输入与反馈值之差）如下图1，从输出端定义（系统输出量的希望值与实际值之差）如下图2。图1则按输入端定义有：Es=Rs-HsCs图2按输出端定义有：E,s=R's

2、-Cs=E(s)H(s)由于按输入端与按输出端定义存在：E,s=E(s)H(s)因此下面仅讨论按输入端定义的误差。证明过程：误差的时域表达式为：et=L-1Es=L-1e(s)Rs系统误差传递函数为：es=EsRs=11+GsHs误差信号et包含瞬时分量ets(t)和稳态分量ess(t)两部分。由于系统必须稳定，故当时间趋于无穷时，必有ets(t)趋于零。因而控制系统的稳态误差定义为误差信号et的稳态分量ess(∞)。针对不同的输入有如下两种情况：a)在线性定常连续系统中对于在阶跃函数、斜坡函数或加速度函

3、数或者它们的组合函数作用下的系统，如果有理函数sEs除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析，则可用拉氏变换的终值定理得：ess∞=lims→0sEs=lims→0sR(s)1+GsHs在一般情况下设分子阶次为m，分母阶次为n的开环传递函数可表示为：GsHs=Ki=1mτis+1svj=1n-vTjs+1令G0sH0s=i=1mτis+1j=1n-vTjs+1则GsHs=KsvG0sH0s又ess∞=lims→0sEs所以ess∞=lims→0sEs=lims→0sv+1RsK+lims→0sv

4、当Rs=Rsess∞=R1+lims→0G(s)H(s)=R1+Kp当Rs=Rs2ess∞=Rlims→0sG(s)H(s)=RKv当Rs=Rs3ess∞=Rlims→0s2G(s)H(s)=RKa综上得表1（其稳态误差可用静态误差系数来表示）。系统型别静态误差系数阶跃输入斜坡输入加速度输入KpKvKa位置误差ess=R1+Kp速度误差ess=RKv加速度误差ess=RKa0K00R1+K∞∞I∞K00RK∞II∞∞K00RKIII∞∞∞000表1若输入为rt=R0t+R1t+1/2R2t2则稳态误差表示

5、为：ess∞=R01+Kp+R1Kv+R2Kab)在线性定常连续系统中，当输入不为上述四种函数情况时，系统稳态误差一般是时间的函数，此时静态误差系数法不能表示稳态误差随时间变化的规律，因此对应此种况用动态误差系数法。它可以完全描述系统稳态误差esst随时间的变化规律，由于描述的误差级数在t→∞时才能成立，因此如果输入信号rt中包含随时间增长而趋近于零的分量，则这一输入分量不应包含在输入信号及其各阶导数之内。按定义有：Es=e(s)Rs将误差传递函数es在s=0的邻域内展成泰勒级数，得es=11+G(s)H

6、(s)=e0+se(1)(0)+s22!e(2)(0)+⋯于是Es=e0Rs+se(1)(0)Rs+s22!e(2)(0)Rs+⋯+sll!e(l)(0)Rs+⋯上述无穷级数收敛于s=0的邻域，为误差级数，相当于在时间域内t→∞时成立。因此，当所有初始条件均为零时，得到时间函数的稳态误差表达式：esst=i=o∞Ciri(t)式中Ci=1i!ei0;i=0,1,2,⋯为动态误差系数。二．线性定常离散系统：离散系统没有唯一的典型结构图形式，所以误差脉冲传递函数ez也给不出一般的计算公式。的离散系统的误差需要

7、针对不同形式的离散系统来求，下面利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳态误差。设单位反馈误差采样系统如下图所示：e*(t)为系统采样误差信号，其z变换函数为：Ez=Rz-Cz=1-(z)Rz=e(z)Rz其中ez=EzRz=11+Gz为系统误差脉冲传递函数。如果ez的极点全部位于z平面的单位圆内，即离散系统是稳定的，则可用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差：ess∞=limt→∞e*t=limz→11-z-1Ez=limz→1(z-1)R(z)z[1+G(z)]当输入为rt=1

8、(t)即Rz=zz-1ess∞=limz→111+G(z)=1limz→1[1+G(z)]=1KpKp=limz→1[1+G(z)]当输入为rt=t即Rz=Tz(z-1)2ess∞=limz→1T(z-1)[1+Gz]=Tlimz→1(z-1)G(z)=TKvKv=limz→1(z-1)G(z)当输入为rt=t22即Rz=T2z(z+1)2(z-1)3ess∞=limz→1T2(z+1)2(z-1)2[1+Gz]=T2limz