高等数学多元函数微分重点难点

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时间:2018-07-07

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1、多元函数微分学及其应用一.基本要求(1)理解多元函数的概念。(2)了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质。(3)理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用。(4)理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算法。(5)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。(6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。(7)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它的方程。(8)了解二元函数的二阶泰勒公式。(9)理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极

2、值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会用最小二乘法求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的实际问题。34一.主要内容多元函数微分学及其应用基本概念及其联系重要结论微分法几何应用极值、最值及其应用(1)多元函数极限.(2)连续.(3)偏导数.(4)全微分.(5)方向导数.(6)梯度.(7)基本概念之间的联系.见后面的七个重要定理.(1)多元复合函数偏导.(2)隐函数求偏导.(3)方向导数及梯度的计算.(1)曲线的切线与法平面方程.(2)曲线的切平面与

3、法线方程.(1)极值存在的必要条件.(2)极值存在的充分条件.(3)条件极值、最值最小二乘法.34重要概念名称定义说明极限设函数在开区域(或闭区域)内有定义,是的内点或边界点,若对于任意给定的正数,总存在正数,使得对适合不等式的一切点,都有成立,则称常数为函数当时的极限,记作类似可定义元函数.二元函数的极限,也叫二重极限注意:任意方式当以不同方式趋于,函数趋于不同值,则函数极限不存在.可用语言用来证明极限存在.连续设函数在开区域(或闭区域)内有定义,是的内点或边界点,且,若,则称函数在连续可用语言定义连续.利用初等函数连

4、续性求极限.偏导数如果极限存在,则称此极限为在点处对的偏导数记作,,,类似定义关于的偏导数求偏导数法则同一元函数求导法则.全微分如果在点的全增量若记,有.34可表示为,其中不依赖于,,则称在点可微,而称为在点的全微分,记作,即.在可微的前提下,有方向导数设在包含,的邻域内有定义,射线:则在处处沿方向的方向导数定义为其中.类似定义空间方向上的方向导数为其中.多元函数某些概念之间关系的比较1.一元函数在连续可导可微分极限存在341.二元函数在点两个偏导数存在连续可微分两个偏导数连续沿任何方向的方向导数存在极限存在名称梯度极值

5、定义设在点的某一邻域内具有连续一阶偏导数,则在点处的梯度定义:说明梯度是一个向量,梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致,梯度的模为方向导数的最大值。注:设函数在点的某个邻域内有定义,对于异于的点,如果都适合不等式则称函数在有极大(小)值(1)极值分为无条件极值和条件极值。(2)极大值与极小值统称为极值。(3)使函数取得极值的点称为极值点。34l重要定理定理1在有界闭区域上的多元连续函数,在上一定有最大值和最小值.定理2在有界闭区域上的多元连续函数,如果在上取得两个不同的函数值,则它在上必取得介于两个值之间的任何值.定理

6、3如果的两个二阶混合偏导数及在区域内连续,那么在该区域内,必有=.定理4如果函数在点可微,则该函数在点的偏导数必定存在,且函数在点的全微分为定理5如果函数的偏导数,在点连续,则函数在该点可微.定理6设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则它在该点的偏导数必为零,即,.定理7设函数在点的某邻域内连续且存在二阶连续偏导数,且,记,,则(1)当时,在处具有极值,且当时,34是极大值,当时,是极小值;(2)当时,不是极值;(3)当时,在处是否有极值不能确定.l重要公式多元复合函数求导法则内容说明如果,在点处有偏导数,在点处有连续

7、偏导数,则复合函数在点处有关于或的偏导数,且复合关系树形图(1)公式个数与自变量个数相同;(2)每个公式项数与中间变量个数相同;(3)函数有几层复合,每项就是几个因子的乘积.若,,,,则,复合关系树形图:34若,,则复合关系树形图:注:这里与含义不同若,,,,则复合关系树形图:隐函数的求导公式由方程确定隐函数,且有连续的偏导数,则由方程确定隐函数,且有连续的偏导数,则,.方向导数的计算公式内容说明(或)在可微点处沿任何方向的方向导数都存在,且(或)其中为与轴正向的夹角(为方向的方向角)可微是方向导数存在的充分条件,反之不

8、一定成立.34空间曲面的切平面与法线方程曲面在点处的切平面与法线方程分别为,.曲面在点的切平面与法线方程分别为,.空间曲线的切线与法平面方程曲线在点处切线与法平面方程分别为,.曲线在点处的切线方向向量为.34多元函数极值的求法无条件极值(1)求驻点:求的一切实数解.(2)判定:由定理7判定所求驻点是否为极值点.(3)

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