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1、反例的作用与作法第24卷第4期VoI.24NO.4开封教育学院JournalofKaifengInstituteofEducation2004年12月2O日Dec.202004反例的作用与作法周梅(开封教育学院数学系.河南开封475001)摘要:在教学中利用反例可以有效地激发学生的求知欲,通过反例能使学生加深对基础知识的理解.反例不但是纠正错误的常用方法,而且是发现问题的重要途径.通过反例的构造可以培养学生的发散性思维和创造性思维.关键词:反例;构造;思维中图分类号:G633.6文献标识码:人文章编号:1008—9
2、640(2004)04—0054—02在社会实践和学习过程中,人们都有这样一个经验:当你对某一问题苦思冥想而不得其解时,从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的成功.用逆向思维方法从问题的反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地.当一个数学问题被提出来后,它面临着两种抉择:一是根据已知的公理,定义,定理等经过一系列的正确推理,推证命题成立;一是从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命
3、题.后者即为通常所说的反例.不太严格地讲,数学是在归纳,发现,推广中发展的,反例在数学的发展中功不可没.数学史上曾出现过许多着名的反例,例如:法国数学家费尔马于1640年前后在验算了形如F一2"十】的数当n一0,1,2,3,4的值分别为3,5,17,257,65537后便宣称:对于n为任何0或正整数,Fn一2十1是素数.大约过了一百年,即1732年数学家欧拉找到一个反例:Fs一2十1—641x6700417,从而否定了费尔马的上述猜想.反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用;而且,作为后人,在学习,领会和深入
4、研数学的时候,也离不开反例.因为条件的强弱,使用范围的宽窄,都需要用反例去作对比,才能加深理解:如果命题有错误,证明有漏洞,也只有靠反例去证实,并从反例中得到修补的启示.举反例是一种重要的反证于段.重要的反例往往会成为数学殿堂的基石.学会构造反例是一种重要的数学技能,应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中.反例的重要性要想充分地发挥出来,关键还在于具体的作出所需的反例,至于反例的作法,也如证明一样,因题而异,方式多变,现举几例,既说明反例的作用又体现反例的作法.一,寻找恰当的特例特例是解题研究的一个方面
5、,在解题实践中.或者特例与一般情况下的结论联合推出问题fI'j答案,或者提示解题思路的线索,或者特例提供构造反例的素材,寻找特例,并考察它们的演变,派生或嫁接,是产生反例的一个途径.例如:判断命题"若a>0'b>0且a≠1.h兰1.则lt]g.b十logl,a≥2"是否正确?若正确请给予证明,否则,举出反例.分析:.a:1.b;】..1og1)土Ol()t:0log..1)(或logJ的取f『{情况可以分为两类:(1)ln)>0(2)l'1)<0显然.后一类情况下,恒有1og1)÷log&l
6、t;0<2即lc,.1)<0时命题不成立.于是容易举出反例:11当!b—lJ'f.有lcl0g2一一】一1—一)<.)收稿日期:2001n;l2作者简介:周梅(1【)65一),女(汉族),河南开封人.Jt教育学院数学系毗!JlIj?54?通过考察题设的特例,能简捷地发现反例.再例如:若(X+1)(y+1)一2,则arctanx+arctany的孤度数等于()A詈B詈c号D号分析:取一个特殊值,例如X一0,Y一1得7carctanx+arctany=一4这个特例从逻辑上讲,其意义在于否定A,C,D,
7、也就从反面肯定了B.二,借助直观的"模型"研究立体几何问题时,联想相关的基本图形,以它们为几何模型进行探究,化抽象为具体,构造出理想的反例.例如:判断命题"有两个面互相平行,其余各面为平行四边形的多面体是棱柱"是否正确(课本习题).分析:课堂上大多数同学认为它是正确的,若教师在订正时,仅仅指出它不符合棱柱的定义,举不出反例加以说明,那么这种苍白无力的解释不仅难以使学生信服,而且不利于培养学生的思维品质.若是画出反例的直观图(最好能事先做一个反例实物模型),就会取得比较好的效果.使学生对棱柱的概念和性质有更深刻的理解
8、.再例如:四面体的四个面()A不可能都是Rt△B可能都是Rt△C至少有三个Rt△D至少有一个面是锐角△分析:以正方体为几何模型进行考察,易知在正方体ABCD—ABClD中的四面体ABDD的四个面均为Rt△,据此反例否定A,C,D,故应选B(图略)三,克服思维的定势思维定势是客观存在的.学生的认识过程是在现有的定势上发生的,定势是发散的基础,没有一定的思路储备
