常用离散格式的对比与讨论

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1、常用离散格式的对比与讨论摘要本文介绍了离散格式在计算流体力学中的作用，并对常见离散格式的特点进行了简要的对比与总结，以便用户在实际计算中进行比较和选用。计算流体力学（ComputationalFluidDynamics）是近代流体力学，数值数学和计算机科学结合的产物。它是采用数值方法利用计算机来求解流体流动的控制偏微分方程组，并通过得到的流场和其它物理场来研究流体流动现象以及相关的物理或化学过程的学科。事实上，研究流动现象就是研究流动参数如速度、压力、温度等的空间分布和时间变化，而流动现象是由一些基本的守恒方程（质量、动量、能量等）控制的，因此，通过求解这些流

2、动控制方程，我们就可以得到流动参数在流场中的分布以及随时间的变化。常见的流动控制方程如纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程或欧拉（Euler）方程都是复杂的非线性的偏微分方程组，以解析方法求解在大多数情况下是不可能的。实际上，对于绝大多数有实际意义的流动，其控制方程的求解通常都只能采用数值方法的求解。因此，采用CFD方法在计算机上模拟流体流动现象本质上是流动控制方程（多数情况下是纳维-斯托克斯方程或欧拉方程）的数值求解，而CFD软件本质上就是一些求解流动控制方程的计算机程序。为了求解流动控制方程，首先要将计算区域离散化，即对空间上连续的计算区域进行

3、划分，分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点，从而生成网格。之后将控制方程在网格上离散，即将偏微分格式的控制方程转化为各个节点上的代数方程组。由于应变量在节点之间的分布假设及推导离散方程的方法不同，形成了有限差分法，有限元法和有限体积法等不同类型的离散化方法，其中以有限体积法计算效率高，应用最为广泛。在使用有限体积法建立离散方程时，很重要的一步是将控制体积界面上的物理量及其导数通过节点物理量插值求出。引入插值方式的目的就是为了建立离散方程，不同的插值方式对应于不同的离散结果。因此，插值方式常称为离散格式（discretizationscheme）。目前使用最

4、为广泛的一阶离散格式包括中心差分格式、一阶迎风格式、混合格式、指数格式及乘方格式，高阶离散格式包括二阶迎风格式及QUICK格式等。在对流场的计算中，不同的离散格式会表现出不同的性能，进而对流场产生重要的影响。离散格式的选取不当甚至会对流场求解产生错误的结论。因而针对不同的流型选择不同的离散格式显得尤为重要，而在选择之前，首要的是应搞清各种离散格式的特点及其在流场计算中所表现出的性能。下文即对上述几种常见的离散格式的特点进行简略的比较与讨论。一、中心差分格式（centraldifferencingscheme）：就是界面上的物理量采用线性插值公式来计算，即取上游

5、和下游节点的算术平均值。它是条件稳定的，在网格数小于等于2时，中心差分格式的计算结果与精确解基本吻合，在不发生振荡的参数范围内，可以获得较准确的结果。如没有特殊声明，扩散项总是采用中心差分格式来进行离散。但中心差分格式因为有限制而不能作为对于一般流动问题的离散格式，必须创建其他更合适的离散格式。二、一阶迎风格式（firstorderupwindscheme）:即界面上的未知量恒取上游节点（即迎风侧节点）的值。这种迎风格式具有一阶截差，因此叫一阶迎风格式。无论在任何计算条件下都不会引起解的振荡，是绝对稳定的。但是当网格数较大时，假扩散严重，为避免此问题，常需要加

6、密网格。研究表明，在对流项中心差分的数值解不出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数条件下，采用中心差分的计算结果要比采用一阶迎风格式的结果误差小。因此，随着计算机处理能力的提高，在正式计算时，一阶迎风格式目前常被后续要讨论的二阶迎风格式或其他高阶格式所代替。三、混合格式（hybridscheme）：综合了中心差分和迎风作用两方面的因素，当

7、

8、<2时，使用具有二阶精度的中心差分格式；当

9、

10、2时，采用具有一阶精度但考虑流动方向的一阶迎风格式。该格式综合了中心差分格式和一阶迎风格式的共同的优点，其离散系数总是正的，是无条件稳定的。计算效率高，总能产生物理上比较真实

11、的解，且是高度稳定的。但缺点是只具有一阶精度。 四、指数格式（exponentialscheme）：将扩散与对流的作用合在一起来考虑，绝对稳定。在应对于一维的稳态问题时，指数格式保证对任何的Pelclet数以及任意数量的网络点均可以得到精确解。缺点是指数运算较为费时，对于多维问题以及源项不为零的情况此方案不准确。五、乘方格式（power-lawscheme）：绝对稳定，与指数格式的精度较接近，但比指数格式省时。主要适用于无源项的对流－扩散问题。对有非常数源项的场合，当数较高时有较大误差。六、二阶迎风格式（secondorderupwindscheme）：二阶迎

12、风格式与一阶迎风格式的相同点在于，二者