数学史与数学教育( hpm) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分的论文

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1、数学史与数学教育(HPM)的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分的论文[摘　要]刘徽的“割圆术”是[关键词]刘徽;割圆术;无限;可积《高等数学》[1]在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义.实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想.另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率（157÷50）.郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明.[2]1

2、　刘徽的“割圆术”我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”.魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800余字的注记———“割圆术”.“⋯⋯割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣!觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表.若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂.”[3]2　几点注记在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想.第二

3、个是无穷小分割思想.2.1　数列极限的夹逼准则刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(squeezetheorem).他从圆内接正6边形开始割圆,设圆面积为s0,半径为r,圆内接正n边形边长为ln,周长为ln,面积为sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形的边长、周长、面积分别记为:l2n、l2n、s2n.刘徽用“勾股术”得[4]:若知ln,则可求出圆内接正2n边形的面积:刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”:s2n<s0<sn+2(s2n-sn)=s2n+(s2n-sn),“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.”limn→∞

4、s2n<s0<limn→∞(sn+2(s2n-sn))=limn→∞(s2n+(s2n-sn)).即在n趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.2.2　折中的无限分割方法关于量可分的两种假定,在2.4　目的是证明圆面积公式而非求圆周率刘徽费尽周折,殚精竭虑创立包含着朴素微积分的割圆术,目的只是为证明圆的面积公式,从而他说:此以周、径,为至然之数,非周三径一之率也.为此他同样使用割圆术中的数据,提出了求圆周率近似值的程序.于是得到下表:利用,s2n<s0<sn+2(s2n-sn)=s2n+(s2n-sn),得到:314×64/625<s0<314×169

5、/625,由s0=1/2lr,得l≈2s2n/r=628.故π=628/200=3.14.2.5hpm的思想科学史上的诸多事实都显示出无穷概念的巨大重要性和深远影响.实数系的逻辑基础在十九世纪末叶才被建立的事实之所以令人惊奇,正是因为人们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的.对无穷的思考并试图理解它和准确地定义它,是对人类智慧的一个挑战.古希腊以降,无穷的概念就引起了先哲们的注意,但它固有的超越人类有限思维的特征,使得人们对它理解的进展十分缓慢.希尔伯特曾说过,无穷是一个永恒的谜.直到19世纪,柯西和魏尔斯特拉斯给出极限的精确定义为止,人们都无法逾越这一思维中的结症.因为极限的“ε2”定

6、义,术语抽象且符号陌生,其中的辩证关系不易搞清.这个概念中内含诸多玄机.它简练外表,隐藏了2000余年来人类面对无限的困惑和努力.这个定义包含着“动与静”的辩证法,包含着从有限到无穷的飞跃,包含着纯洁的数学美.个体的认识规律会“重演”数学史的发展历程,因此在教学中,学生自然会提出的一系列问题:既然极限描述性定义简单明白,为什么要搞个“ε2”定义?它与描述性定义有什么不同?数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义?正如r·柯朗和h·罗宾所说:“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的,遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,他们不作充分的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好象作些解释就有损于数学家的身份似

7、的.”要弄清这些问题,只有翻开数学史,从哲学的角度认识极限法,这样不仅能帮助我们搞清极限的概念,也有助于建立正确的数学观念.极限的精确定义和是微积分的理论基石.但是要在几堂课内讲清楚困扰人类2000余年极限问题,确实是个难题,hpm也许是他山之石.比如通过开辟第二课堂,或在课上,介绍刘徽“割圆术”中的微积分思想,对极限定义的理解将会大有裨益.[参　考　文　献][1]同济大学数学教研室.高等数学(上