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1、数学建模题目：商仆过河问题组员：班级：指导老师：目录1.摘要………………………………………………………32.问题的提出…………………………………………..33.问题的分析…………………………………………..44.模型的假设…………………………………………..55.模型的建立与解.………………………………....56.模型的符号…………………………………………..67.模型的解……………………………………………….68.模型的图解…………………………………….……..89.关于C语言的程序算法…………………..…..
2、1010.模型的优缺点…………………………………..1411.参考文献……….…………………………………15摘要：本文针对商人安全渡河问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没杀人越货的情况下的渡河方案。对于本题而言，在3(15)对商仆、船最大容量为2（8）人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集合定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随从渡河方案变化的规律。利用c软件编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。
3、关键词：船载量、允许状态向量、允许决策向量一．问题的提出仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划行。在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到十五名商人带十五名随从又如何？二．问题的分析1.安全渡河问题可以看成一个多步决策过程，船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策。2
4、.状态向量：用二维坐标向量表示（商，仆）：0<=H<=3(11),0<=S<=3(11)，例如：（3，3，）（5，0）（6，4）等均成立3.允许向量：由题意可知，仆人数少于商人数被选定为允许向量。1.运载向量：利用二维向量(m,n)表示船只上的商仆数量。2.可行的运载向量：满足二维向量(m,n)，0<=n<=m<=3(15)。枚举所有可能的算法：（1，0）（2，0）（3，0）（4，0）（5，0）（6，0）（7，0）（8，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（2，1）（3，2）（4，3）3.可取用状态向量：利
5、用穷举法表示状态，利用递归算法进行模型的建立与运算4.运载向量：使用二维向量进行表示（商，仆）：0<=商<=3(11),0<=仆<=3(11)5.该模型使用逻辑运算法则进行数学模型的建立一．模型的假设(1)每个商人和他的随从均会划船(2)只有一条船，且船只的承载数量为8人(3)船在划行的状况下不受任何的外力干扰(4)不存在任意几人不能同时坐船的情况一．模型的建立与解由题目可知，3(15)对商仆过河，船载量为2(8)人，现记第K次渡河前的商人数为Xk,仆人数为Yk,k=1,2,…,(2)8,再记一组二维向量Ak=(X
6、k,Yk)，Ak为给定时的状态量，可记做C的表达式为：C=｛(x,y)
7、x=0,y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15再记第K次渡河时船上的商人数为uk,仆人数为vk,记二维向量Bk=(uk,vk),可知小船此时的运载为D，D的表达式为;D={(u,v)
8、1<=u+v<=2(8),u,v=0,1,…,2(8)}由上题目中的题意可知第K+1次时的情况为E：E=Ak+(-1)^k*Dk最终直到3(15)对商仆全部过河时完成问题二．模型的符号A表示起始状态下商仆所在一岸B表示末
9、状态商仆所在一岸S表示商仆的对数K表示船最多的载人数C渡河时的一侧岸边的商仆数D小船运载的商仆数量E第k次渡河是的商仆数量Ak河岸一边的商人数Bk河岸一边的仆人数Ck河岸另一边的商人数Dk河岸另一边的仆人数一．模型的解（1）利用程序框图来解决过河问题根据题意状态转移必须满足以下规则;(1).Z从1变0或0变1交替进行。(2).Z从1变为0即从河的此岸到彼岸，此案的人数减少1或2；即(m,n,1)→(u,v,0)时，两岸的人数满足m>=n且u>=v，且m+n-1=u+v或m+n-2=u+v。(3)Z从0变为1时，即从
10、河的彼岸到此案，则此案的人数增加1或2；即(u,v,0)→(m,n,1)时，两岸的人数满足m>=n，u>=v，m+n+1=u+v或m+n+2=u+v。(4)对重复出现过的状态不计入安全状态，如（3,3,1）→（3,2,0）→（3,3,1）最终，我们可以得到如下的四种解法：第一种解法：第二种解法：第三种解法：第四种解法：（1）利用C的程序来求解过河问题1.建立
