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1、SARS的传播数学建模论文SARS的传播摘要本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。得出三个基本假设并且把人群理想化为三类（S类，I类，R类），建立起基本的SIR模型，再对SIR模型中三类人群间的相互转化关系的分析，结合马氏链得出三种人群间变化率的矩阵T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的两个参数a(t),b(t)是以时间为变量的函数。我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式
2、，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。）进一步完善了我们的模型。本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。11SARS的传播数学建模论
3、文一问题的提出严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。它对全球的经济和生活造成巨大的破坏，尽管目前疫情已得到控制，但对这种新冠状病毒及其流行规律的研究还刚刚开始，因此，有必要根据SARS流行的特点，建立数学模型预测其传染，从而采取措施预防和控制其发展。而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。二问题的分析通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。模型的假设：1将人群分为三类易感染者人
4、数（疑似病例）：用S表示；病人数（已受感染者，即确疹者）：用I表示；移出者人数（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2该地区人口不流动，疫情阶段无病原的输入和输出，设最初易感染者人数为N，此时I，R均为0。3被隔离人群完全断绝与外界接触，不再具有传染性。三模型的分析与建立问题一:对于附件1所提供的早期模型即N（t）=N（1+K）在疾病初期应该有它的可参性。因为模型N（t）=N（1+K）是符合指数增长规律的。而对于这种传播疾病，由于社会来不急防备以及群众的不重视，使得SARS疫情基本上呈自然规律
5、增长，这与香港的实际疫情拟合图基本一致。通过对香港和北京高峰前期的病例与天数的对应关系计算出的数据与实际基本吻合。见下图表：香港（K=0.16204）病例数42080320实际天数10203040计算天数9.2319.9529.1838.41实际天数-计算天数0.770.050.821.5911SARS的传播数学建模论文北京（K=0.13913）病例数1344140470实际天数20304050计算天数19.6929.0537.9347.23实际天数-计算天数0.310.952.072.7711S
6、ARS的传播数学建模论文由上图可知在高峰期前即疾病早期基本符合指数增长规律，同时，我们也可以看到天数越接近高峰期，实际天数与计算天数就相差越大，这说明这个模型特别适用于早期初，但从上表中的数据差来看，它们相差并不大，对整个早期阶段也有较好的预测性。因此，该模型具有一定的合理性和实用性。问题二:模型的建立建立SIR模型易感染者，感染者，移出者之和是个恒量即N=S+I+R。由于病人康复后具有终生免疫力，人与人之间有相同的接触率。最终由如下两种假设决定状态之间的转变率：（1）感染者的增长率是和感染者I与
7、易受感染者S的乘积成正比的；（2）感染者I到移出者R的变化率是与感染者I成正比。基于以上假设得出模型的微分方程：其中a,b都是以时间为变量的参数，a(t)为日感染率，b(t)为日移出率，于是我们可以得出三类人的转换状态图：根据MarkovChain理论，我们得出一个矩阵T:T=11SARS的传播数学建模论文其中a就是当天易感染者S变为感染者I的日感染率,b就是当天感染者I转变为移出者R的移出率.(a,b分别为a(t)，b(t)某一天的值)设初始值X={N,0,0},于是我们可以由X与T的转置矩阵相
8、乘,相乘一次得到第一天的易感染者,确诊病人及排除者的人数,再由该人数与T的转置矩阵相乘一次得到第二天各类人群的数目,依此类推,我们可以得到第t天的各类人群的数目,于是我们可以得出任何一天各类人群的数目的初步模型即:X=X*T由于T是由a,b确定的,所以要建立模型还必须求出a(t),b(t).于是我们参照附件2中的数据，利用Matlab的多项式数据拟合，可以得到它们相应的多项式。下面进一步讲拟合过程：第一步：对附件2中的疑似病例进行20次数据拟合，得出每天的疑似病例数的多项式：f(t
