2017学年高中数学人教a版选修2-3课堂导学：1.3.2二项式定理（二） word版含解析

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1、课堂导学三点剖析一、二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题【例1】9192除以100的余数是多少？解析:9192=（100-9）92=10092-·10091·9+·10090·92-…-·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.∵992=（10-1）92=1092-·1091+·1090-…+·102-·10+（-1）92=1092-·1091+·1090-…+·102-920+1=（1092-·C91+·1090-…+·102-1000）+81∴被100除的余数为81，即919

2、2除以100的余数为81.二、二项式定理的应用——近似计算问题【例2】一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P=6D5,已知D=3.11，求P(精确到100马力)解析：∵D=3.11∴P=6×(3.11)5=6×(3+0.11)5=6［35+·34·0.11+·33·(0.11)2+…+(0.11)5］在精确到100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.∴P≈6×［35+·34×0.11］=6×（243+44.55）=1725.3≈1700即所消耗的功率约为1700马力.温馨提示在用二项式定

3、理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当h很小而n又很大时，（1+h）n≈1+nh是工业计算中经常使用的粗算公式.三、二项式定理的应用——证明不等式【例3】证明：2≤(1+)n＜3(n∈N)证明：当n=1时，（1+1）1=2,当n＞1时，（1+）n=1++…＞1+1+＞2，∴2≤(1+)n又∴(1+)n=1+·+·+…+·≤=2+1-＜3∴2≤(1+)n＜3温馨提示证明(1+)n＜3还可以有如下的证法：(1+)n≤=＜3.在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法.恰当地进行放缩.各个击破【类题演练1】1+3+32+

4、…+399被4除所得的余数为____________.解析：1+3+32+…+399=［3100-1］=［(4-1)100-1］=［·4100-499+…-·41+-1］=8（·498-·497+…+·2-50）∴原式被4除所得的余数为0.【变式提升1】求证：32n+3-24n+37能被64整除.证明：32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n+1+8n+…+)-24n+37=3×64(·8n-1+·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(8n-1+8n-2+…+)+64是64的倍数故原式可被6

5、4整除.【类题演练2】某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.2%，则100天后这家公司的股票指数约为______________（精确到0.001）.解析：100天后指数为2(1+)100=2·（1+0.002）100=2(1+0.002+×0.0022+×0.0023+…)≈2(1+0.2+0.0198+0.0012936)=2.442答案：2.442【变式提升2】一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元（含28.8万元关税税款）.某人在2001年将33万元存入银行，

6、若该银行扣利息税后的年利率是1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（每一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆A型进口汽车？解析：33万元存入银行，到2006年得到的本息和为33（1+0.018）5=33(1+0.018+0.0182+…+0.0185)＞33(1+0.090+0.00324)=36.07692.到2006年A型进口汽车的价格为28.8+28.8×=36.因为36.07692＞36，所以五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆A型进口汽车.【类题演练3】当n∈N，求证：(1+)n＜(1+)n+1证明：因为(1+)n

7、=1+·+·+…+·,其中=(1-)(1-)…(1-)＜(1-)(1-)…(1-)==·∴(1+)n＜1+·+·=(1+)n【变式提升3】已知i,m,n是正整数，且1＜i≤m＜n，（1）证明＜；（2）证明（1+m）n＞(1+n)m.证明：（1）略.（2）由二项式定理：（1+m）n=，（1+n）m=.由（1）知＜(1＜i≤m＜n).又，∴，∴∵=1,，∴，即（1+m）n＞(1+n)m.德育教育融入小学课堂教学的有效对策随着我国小学德育教育不断提档升级，在小学课堂教学中进行德育渗透，日益成为现代小学品德教育的重要目标与方向。在小学教育阶段，是学生形成自身道德体

8、系的关键时期，利用小学课堂教学开展德育教育，可以实现小学生个人思想