义务教育2017-学年高中数学人教a版选修2-3课堂导学：1.3.2二项式定理（二）word版含解析

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1、课堂导学三点剖析一、二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题【例1】9192除以100的余数是多少？解析:9192=（100-9）92=10092-·10091·9+·10090·92-…-·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.∵992=（10-1）92=1092-·1091+·1090-…+·102-·10+（-1）92=1092-·1091+·1090-…+·102-920+1=（1092-·C91+·1090-…+·102-1000）

2、+81∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.二、二项式定理的应用——近似计算问题【例2】一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P=6D5,已知D=3.11，求P(精确到100马力)解析：∵D=3.11∴P=6×(3.11)5=6×(3+0.11)5=6［35+·34·0.11+·33·(0.11)2+…+(0.11)5］在精确到100马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.∴P≈6×［35+·34×0.11］=6×（243+44.5

3、5）=1725.3≈1700即所消耗的功率约为1700马力.温馨提示在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当h很小而n又很大时，（1+h）n≈1+nh是工业计算中经常使用的粗算公式.三、二项式定理的应用——证明不等式【例3】证明：2≤(1+)n＜3(n∈N*)证明：当n=1时，（1+1）1=2,当n＞1时，（1+）n=1++…＞1+1+＞2，∴2≤(1+)n又∴(1+)n=1+·+·+…+·≤=2+1-＜3∴2≤(1+)n＜3温馨提示证明(1+)n＜3还可以有如下的

4、证法：(1+)n≤=＜3.在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法.恰当地进行放缩.各个击破【类题演练1】1+3+32+…+399被4除所得的余数为____________.解析：1+3+32+…+399=［3100-1］=［(4-1)100-1］=［·4100-499+…-·41+-1］=8（·498-·497+…+·2-50）∴原式被4除所得的余数为0.【变式提升1】求证：32n+3-24n+37能被64整除.证明：32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n

5、+1+8n+…+)-24n+37=3×64(·8n-1+·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(8n-1+8n-2+…+)+64是64的倍数故原式可被64整除.【类题演练2】某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.2%，则100天后这家公司的股票指数约为______________（精确到0.001）.解析：100天后指数为2(1+)100=2·（1+0.002）100=2(1+0.002+×0.0022+×0.0023+…)≈2(1+0.2+0.0198+0.0012936)=2

6、.442答案：2.442【变式提升2】一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元（含28.8万元关税税款）.某人在2001年将33万元存入银行，若该银行扣利息税后的年利率是1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（每一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆A型进口汽车？解析：33万元存入银行，到2006年得到的本息和为33（1+0.018）5=33(1+0.018+0.0182+…+0.0185)＞33(1+0.090+0.003

7、24)=36.07692.到2006年A型进口汽车的价格为28.8+28.8×=36.因为36.07692＞36，所以五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆A型进口汽车.【类题演练3】当n∈N*，求证：(1+)n＜(1+)n+1证明：因为(1+)n=1+·+·+…+·,其中=(1-)(1-)…(1-)＜(1-)(1-)…(1-)==·∴(1+)n＜1+·+·=(1+)n【变式提升3】已知i,m,n是正整数，且1＜i≤m＜n，（1）证明＜；（2）证明（1+m）n＞(1+n)m.证明：（1）略.（2）由二项式定理：（1+m）

8、n=，（1+n）m=.由（1）知＜(1＜i≤m＜n).又，∴，∴∵=1,，∴，即（1+m）n＞(1+n)m.亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做