义务教育2016届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：函数的单调性与最值

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题．2.函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法.[归纳·知识整合]1．函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D

2、上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．[探究]　1.函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个

3、函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为

4、最大值M为最小值[探究]　3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝，x∈[2,6]，则下列说法正确的有(　　)①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为.A．①③　　　　　　　　B．①③④C．②③④D．②④解析：选B　易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)min＝f(6)＝，f(x)max＝f(2)＝2.2．函数y

5、＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)A．k>　　　　　　　　B．k－D．k<－解析：选D　使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋1<0，即k<－.3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1，即

6、x

7、<1且

8、x

9、≠0.∴x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调

10、递增区间为________；f(x)max＝________.解析：∵函数f(x)＝x2－2x的对称轴为x＝1.∴函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)．又f(－2)＝4＋4＝8，f(4)＝16－8＝8.∴f(x)max＝8.答案：[1,4]　85．(教材习题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，又函数f(x)在[5,20]上为增函数，∴≤5，即k≤40.答案：(－∞，40]

11、函数单调性的判断或证明[例1]　已知函数f(x)＝－ax，其中a>0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．[自主解答]　(1)由2f(1)＝f(－1)，可得2－2a＝＋a，得a＝.(2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．————————————————

12、———判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：