北京邮电大学通信原理习题集及答案

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1、《通信原理习题选》第二章确定信号分析1．设st(),s(t)是任意的复信号，Sf(),S(f)分别是st(),s(t)的傅氏变换。证明121212∞∞**∫∫s12()ts()tdt=S1(f)S2(f)df。−∞−∞证：∗∞∞∞∞*2⎡jfππt⎤⎡j2ut⎤∫∫−∞s12()ts()tdt=−∞⎣⎢∫−∞S1(f)edf⎦⎣⎥⎢∫−∞S2(u)edu⎦⎥dt∞∞∞∗−⎡⎤jf22ππt+jut=∫∫S12()fS(u)⎢⎥⎣⎦∫edtdudf−∞−∞−∞∞∞∗=−∫∫S12()fS(u)δ(fu)dudf−∞−∞∞∗=∫Sf

2、12()S()fdf−∞注：Paserval定理的一般形式是∞∞**∫∫s12()ts()tdt=S1(f)S2(f)df，−∞−∞其中st(),s(t)是任意的复信号，Sf(),S(f)分别是st(),s(t)的傅氏变换。121212它的一个特例是st()=s()t=s(t)，此时12∞∞22∫s()tdt=∫S()fdf−∞−∞其中Sf()是st()的傅氏变换。2．已知信号⎧πtTTss⎪cos−≤

3、≤

4、fT+−⎟⎜⎟fT⎢⎝ss⎠⎝⎠⎥⎣22⎦⎡⎤Tf⎢⎥cosππTcosfTTcosπfT1sssss=−⎢⎥=−×22⎢⎥⎛⎞11⎛⎞π21ππ⎜⎟fTss+−⎜fT⎟()fTs−⎣⎦⎢⎥⎝⎠22⎝⎠42cTosπfTss=22π()14−fTs(2)由Paserval定理∞∞2T2s∫∫G()fdf=g()tdt=−∞−∞2∞3．已知周期信号st()=∑g(t−nT)，其中n=−∞⎧24TT−≤t

5、t()的线性系统的n=−∞输出。将x(t)展成傅氏级数，得∞∞m1jt2πxt()=−∑∑δ(tnT)=eTnm=−∞T=−∞所以x(t)的功率谱密度为∞1⎛⎞mPfx()=−2∑δ⎜⎟fTTm=−∞⎝⎠⎛⎞fTgt()的傅氏变换是Gf()=sinc⎜⎟，因此⎝⎠2∞12⎛⎞mm⎛⎞Pfs()=−2∑sinc⎜⎟δ⎜f⎟TTm=−∞⎝⎠2⎝⎠∞114⎛⎞2k−1=+22δδ()ff∑22⎜⎟−TTk=−∞()21k−π⎝⎠T4．对任意实信号gt(),g(t)，(−∞

6、g1(t)g2(t)。求ut()与vt()正交的条件。解：2/122《通信原理习题选》∞∞∫∫−∞u()tv()tdt=+−∞⎡⎣gt12()g()t⎤⎡⎦⎣gt1()−g2()t⎤⎦dt∞22=−∫−∞⎡⎤⎣⎦gt12()gt()dt=E1−E2因此，ut()与vt()正交的条件就是g(t)和g(t)等能量。12∞5．∫sinc()ty−=sinc(y)dy?−∞解：令st()=sinc(t)，则其傅氏变换是⎧1⎪1f≤Sf()=⎨2⎪⎩0esle∞ut()=−∫sinc(ty)sinc(y)dy是sinc(t)和sinc(t

7、)的卷积。时域卷积对应频域乘积，所−∞以ut()的傅氏变换是U()f==Sf()Sf()Sf()因此ut()=sinc(t)∞6．证明∑sinc(k+ε)=1，其中01≤ε<。k=−∞k证：对直流信号mt()以f=1Hz的采样速率在t=+=εkT+ε时刻进行理想采样，得ssfs到的采样信号是∞∞st()=+∑∑m(kTssε)δε(t−kT−)=δε(t−kTs−)kk=−∞=−∞fs再将st()通过一个带宽为=0.5Hz的理想低通滤波器，则输出还是直流mt()=1。2∞另外，此理想低通的冲激响应是sinc(t)，因此滤波器输出

8、是∑sinc()tk−−ε，令t=0，k=−∞∞并考虑到sinc(x)是偶函数，得∑sinc(k+ε)=1。k=−∞7．设基带信号mt()的频谱范围是[f,f]，其Hilbert变换是mtˆ()。求下列信号的HilbertLH变换（f>>f）。cH(1)x()t