高中数学必修5自主学习导学案：1.1.2余弦定理

《高中数学必修5自主学习导学案：1.1.2余弦定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§1.1.2余弦定理1．新课引入我们知道，正弦定理可以解决“已知两角和任意边，求其他两边和一角”以及“已知两边和其中一边的对角”，思考，已知两边及夹角，如何解此三角形呢？若△ABC为任意三角形，已知角C，a，b，求边c.问题：在中，．．的长分别为．．.∵，∴，化简得：，同理可得：，．2．余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：，，．思考：这个式子中有几个量？3．对余弦定理的理解从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求

2、出一角？（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角．（3）判断三角形的形状．从余弦定理，又可得到以下推论：，，．（4）若C=，则0，这时,※典型例题考点1．已知三角形的两边及夹角求解三角形【例1】在△ABC中，已知，解此三角形．解：由余弦定理，，变式1．若，则___7____变式2．在△ABC中，已知，则_____2____变式3．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A.分析：已知两边a＝2，b＝2及其夹角C＝15°，故可利用余弦定理求出边c，已知三边求角

3、A，可用余弦定理的变形解决．解析：cosC＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－.∴cosA＝＝.又∵0°

4、小为（）A．60°B．45°或135°C．120°D．30°解析：,，选A.变式6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各角度数．解析：由余弦定理直接求各角，也可由余弦定理求出一角，然后用正弦定理去求．答案：方法一：由已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．由余弦定理，得cosA＝＝＝，∴A＝45°.cosB＝＝＝，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.方法二：由方法一可得A＝45°.由＝，得sinB＝＝＝，∴B

5、＝60°或120°.又∵b

6、角对大边，角C最大，由余弦定理得：，又∵0

7、b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cosAsinB＝sinC，试判断此三角形的形状．分析：已知条件中既有边的关系，又有角的关系，可利用正、余弦定理化边为角或化角为边来判断．解析：解法一：(利用边的关系判断)由正弦定理，得＝.∵2cosAsinB＝sinC，∴cosA＝＝.∵cosA＝，∴＝，∴a＝b.∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab.又∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形．解法二：(利用角的关系判断)∵A＋B＋C＝1

8、80°，∴sinC＝sin(A＋B)．∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.∵0°