高中数学必修5自主学习导学案：3.1不等关系与不等式

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1、3.1不等关系与不等式（学生版）1．生活中的不等关系现实生活和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。在数学中，我们常用不等式来表示这些不等关系：（1）交通部门规定，机动车辆在有些道路上行驶时，时速不能超过40千米，写成不等式为__________；（2）设点A与平面a的距离为d，B为平面内任意一点，则写成不等式为__________________；（3）要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，且规定600mm的数量不能超过500mm的3倍，写成不等式为______________________；答案：（1）；

2、（2）；（3）2．不等式的性质为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质进行了解：关于实数a，b大小的比较，有以下事实：如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反过来也对．用符号表示为：可以证明：不等式具有以下性质：性质别名性质内容注意性质1对称性a>b⇔bb，b>c⇒a>c性质3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆性质4可乘性⇒ac>bcc的符号⇒acb＋d同向性质6同向同正可乘性⇒ac>bd同向性质7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)同正性质8可开方性a>

3、b>0⇒>(n∈N*，n≥2)※典型例题考点1．用不等式(组)表示不等关系【例1】某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式组．解析：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则即点评：用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用

4、关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．变式1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是(　　)A.B.C.D.解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.答案：D变式2．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．解析：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0

5、菜园的另一条边长为＝(m)．因此菜园面积S＝x·，依题意有S≥216，即x≥216，故该题中的不等关系可用不等式表示为.考点2．比较两数(式)的大小【例2】已知，，求证：.证明：方法一（作差法）：，因为，，，，.方法二（作商法）：，因为，，所以，所以，所以.点评：方法一用作差法，关键是因式分解和符号判定．方法二用作商法是因为两个式子的符号均为正，用起来也很方便，关键是作商后分子部分的配方和符号判定．变式1．已知a>b>0，m>0，试比较与的大小解：∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0，∴，∴>从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵变式2

6、．已知正数a、b、c成等比数列，比较a2－b2＋c2与(a－b＋c)2的大小．解析：因为a、b、c均为正数，且a、b、c成等比数列，所以b2＝ac，b＝.所以(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)＝2b(a－2＋c)＝2b(－)2≥0，所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.变式3．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－

7、1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)∵x<1，∴x－1<0.又∵2＋>0∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.考点3．不等式性质的应用【例3】已知求证.证明：，因为所以，，所以.变式1．判断下列说法的对错：(1)<且c>0⇒a>b；(2)若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；(3)a>b>0且c>d>0⇒>；(4)>⇒a>b.解：(1)∵<，c>0.∴<.当a<0，b>0时，此式成立，此时推不出a>b.∴(1)错．(2)当a＝4，b＝1时，虽然4＋2>1＋3，但是2<3.∴(2)错．(3)∵a>b>0，c>d>0，∴>>0，∴>

8、.∴(3)对．(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对.考点4．利用不等式的性质求取值范围【例4】已知12