高中数学必修5自主学习导学案：2.5等比数列前n项和

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1、2.5等比数列的前n项和（学生版）1．新课引入国际象棋起源于印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里面放1颗麦粒，第2个格子里面放2颗麦粒，第3个格子里面放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里面放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40克，根据调查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能够实现他的诺言．探讨1:发明者西萨要求的麦粒总数是多少？探讨2:上面式子有什么特点？是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项之和，可以记为①如果

2、①式两边同乘以2得2S64=2+22+23+···+263+264②探讨3:比较①、②两式，有什么关系？两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到：．思考1：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？思考2：你能求出该数列的前n项和吗？分析：①公式两边同时乘以等比数列的公比2，可得：②两式相减可得：．2．等比数列前n项和的推导问题：设等比数列，首项，公比，如何求前n项和？说明：这种求和方法称为错位相减法．思考3：当公比时，有人推导出数列前n项和公式为，你知道如何推导的吗？思考4：当公比时，数列是什么数列？此时数列的前n项和怎么求？等比数列前n项和公式：思考：这

3、两个公式有什么区别，分别在什么情况下使用？※典型例题考点1．求等比数列的通项公式【例1】已知等比数列：（1）求其前8项和；（2）该数列前多少项和是？（3）求该数列第5项到第10项的和．练习1．已知等比数列中，，，，则________．练习2．已知等比数列中，，，则_____________．考点2．等比数列前n项和公式的基本运算【例2】在等比数列{an}中，(1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7；(2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q.练习1：已知等比数列中，，，求=____________．练习2：已知等比数列

4、中，，，则___________．练习3：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.考点3．错位相减法求数列的前n项和【例3】设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和．点评：(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．特别注意等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(3)应用等

5、比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论．练习1．数列的通项，前项和为，求．练习2．求数列{nxn}的前n项和Sn.思维启迪：讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方法．※当堂检测1．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)A.B.C.D.2．数列1，x，x2，…，xn－1(x≠0)的前n项和为(　　)A.B.C.D．以上均不正确3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)A．(2n－1)2B.(2n－1)C．4n－1D.(4n－1)

6、4．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.5．已知等比数列{an}的首项a1＝1，且公比q＝2，求数列{nan}的前10项的和．考点4．等比数列前n项和公式的实际应用【例4】从社会效益和经济效益出发，基地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元．以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，

7、bn的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？分析：该题中每年的资金投入都比上一年减少，每年的旅游业收入都比上一年增加，故为等比数列模型．考点5．等比数列前n项和的性质（1）连续m项的和，如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．（2）{an}为等比数列⇔Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．（3）在等比数列{an}中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.（4）在等比数列{an}中，Sm＋n＝Sn＋qnSm.（5）在等比数列中，序号成等差数列的项构成一个新的等比数列．如在等比数列中(公比为)，