有限元法在结构分析中的发展应用

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1、有限元法在结构分析中的发展应用摘要：阐述了有限元法的基本原理以及解题思路和解题步骤，介绍了有限元的优点和发展趋势。关键字：有限元法基本原理结构分析解题步骤中图分类号：TU318文献标识码：A1有限元法简述有限元法是结构分析的一种数值计算方法,是矩阵方法在结构力学和弹性力学等领域中的应用和发展。有限元法借助于矩阵等数学工具,尽管计算工作量很大,但是整个的分析是一致的,有很强的规律性,因此特别适合于编制计算机程序来处理。目前，有限元法在现代结构力学、热力学、流体力学和电磁学等许多领域都发挥着重要作用。2有限元法的基本原理有限元法通常分为线性有限元法和非线性有

2、限元法。线性有限元法是一种利用位能变分和分割近似原理求解线性弹性力学问题的数学方法。它首先把连续弹性体分割为在节点上相连的单元组合体，然后以节点位移为基本未知量，分别在各单元内选取位移函数，并按线性弹性力学的几何方程、本构方程和虚功方程或位能变分方程，建立并求解关于位移的线性代数方程组，把无限个自由度的问题化为有限个自由度的问题。8有限元处理问题的基本思路是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定的方式相互连接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，故可以模型化几何形状复杂的求解域。利用在每一单元内假设的

3、单元函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数及其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。故一经求解出这些未知量就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解遇上的近似解。因此，有限元法实质上是一种力学模型上进行近似的数值计算方法。3有限元法的解题步骤任何一种方法或思路在处理具体问题时总有它处理问题的先后顺序。同理，有限元在处理实际问题时也有其一定的顺序，步骤如下：3.1结构离散化8应用有限元法分析工程问题的第一步,是将结构进行离散化。其过

4、程就是将待分析的结构用一些假想的线或面进行切割,使其成为具有选定切割形状的有限个单元体。使整个结构离散为由各种单元体组成的计算模型,这些单元体被认为仅仅在单元的一些指定点处相互连接,这些指定的点称为单元的节点,这个过程就是单元划分。离散后单元与单元之间通过单元的节点相互连接起来。单元体的设置、性质、数目应根据实际物体的性质、所描述的变形形态的要求和计算结果的精度来确定,单元划分越细则描述变形情况越精确,越接近实际的结构变形,但计算量越大。有限元中分析的结构已不是原有的结构,而是由众多单元以一定的方式连接起来的离散物体。用有限元分析计算结果只是近似值,如果

5、划分单元非常多且又合理,则所获得结果就会与实际情况相符合。3.2单元特性分析8(1)选择位移模式结构离散化后,接下来的工作就是对结构离散化所得的任一典型单元的特性进行分析。在有限单元法中,选择节点位移作为基本未知量时称为位移法;选择节点力作为基本未知量时称为力法;选择一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化,所以,在有限单元法中,位移法应用最为广泛。当采用位移法时,首先必须对单元中任意一点的位移分布做出假设,即在单元内用只具有有限自由度的简单位移代替真实位移。对位移元来说,就是将单元中任意一点的位移近似地表示成该单

6、元节点位移的函数。位移函数的假设合理与否,将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。目前比较常用的方法是以多项式作为位移模式,这主要是因为多项式的微积分运算比较简单,而且从泰列级数展开的意义来说,任何光滑函数都可以用无限项的泰列级数多项式来展开。(2)分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等,找出单元节点力和节点位移的关系式,这是单元分析的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式,从而导出刚度矩阵,这是有限元法的基本步骤之一。(3)计算等效节点力物体离散化后,假定力是通过节点从一个

7、单元传送到另一个单元。但是,对于实际的连续体,力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而,这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效地移到节点上去,也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。3.3单元组集有了单元特性分析的结果,像结构力学中解超静定的位移法一样,对各单元仅在节点相互连接的单元集合体用虚位移原理或最小势能原理进行推导,利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来,形成整体的有限元方程。3.4求未知节点的位移8在有限元的发展过程中,人们通过研究,建立了许多不同的存储方式和计算方法,目的是节省计算机的存

8、储空间和提高计算效率,根据方程组的具体特点选择合适的计算方法,即可求出全部未知的