高考数学简单几何体复习题14

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1、第九章（B）第六讲时间：60分钟　满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．已知二面角α－l－β的大小为30°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(　　)A．30°　　　B．90°　　　C．1　　D．150°答案：A解析：∵两异面直线所成的角0°＜α≤90°，故排除B、C、D.2．(·吉林延边一模)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线A1E与CD1所成角等于(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°答案：D解析：如图，A1E与CD1所成角等于∠BA1E，因为△A1BC1为等边三角形，又E为BC1中点，所以∠BA1E＝30°.故选D.3．

2、(·黑龙江大庆一模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为(　　)A.B.C.D．2答案：B解析：取BC中点M，连结FM，则FM⊥平面ABCD，连结EM，则∠FEM为所求角．设正方体的棱长为2，则FM＝1，EM＝，tan∠FEM＝＝.故选B.4．在四面体ABCD中，AD⊥平面DBC，BD⊥DC，AD＝，BD＝DC＝，则二面角A－BC－D的大小为(　　)A．30°B．45°C．60°D．75°答案：C解析：取BC中点E，易知BC＝2，AB＝AC＝，AE＝2，DE＝1，AE2＝AD2＋DE2，知所求角为60°.5．如下图

3、所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC>AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P－BC－A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是(　　)A．α<β<γB．α<γ<βC．β<α<γD．γ<β<α答案：A解析：本题考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念和计算．过A作AF⊥BC于F，连结PF，则∠PFA为二面角P－BC－A的平面角，∴∠PFA＝γ，∠PCA为异面直线DE与PC的夹角，即∠PCA＝α，连AD，PD与平面ABC的夹角为∠PDA⇒∠PDA＝β，∵AC≠AB，∴AF<

4、AD，又AC>AD⇒AF>⇒tanγ>tanβ>tanα，又α、β、γ为锐角，∴α<β<γ，故选A.6．(·全国Ⅰ，9)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案：D解析：如图，D为BC的中点，则由题意得∠A1AD＝∠BAD＝30°，由三角形余弦公式得cos∠A1AB＝，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为，故选D.7．(·保定市高三年级调研考试)在正四面体S－ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为(　　)A．ar

5、ccosB．45°C．arctanD．arctan答案：C解析：如图连接SF，则SF⊥平面ABC.连结AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连结EG，由E为SA的中点，得EG∥SF，∴EG⊥平面ABC，∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角．设正四面体的边长为a，则AH＝a，且AF＝AH＝a；在Rt△AGE中，AE＝，AG＝AF＝a，∠EGA＝90°，∴EG＝＝a.在Rt△EGF中，FG＝AF＝a，EG＝a，∠EGF＝90°，∴tan∠EFG＝＝，∴∠EFG＝arctan，即EF与平面ABC所成的角为arctan，故选C.8．(·东北四市联考)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、

6、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　)A．90°B．60°C．45°D．30答案：C解析：如图由条件可知面ABC⊥面ACD时，三棱锥体积最大，如右图，∠DBE为所求的角，DE＝BE.∴△DBE是等腰直角三角形，故∠DBE＝45°，选C.二、填空题(4×5＝9．(·上海)如图所示，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是________(结果用反三角函数值表示)．答案：arctan解析：连接D1C.∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角．在Rt△BCD1中，BC＝2，CD1＝2，

7、∴tan∠D1BC＝，∴∠D1BC＝arctan.10．(教材改编题)在正四面体ABCD中，E为AD的中点，则二面角E－BC－D的余弦值为________．答案：解析：如图取BC的中点F，连结EF、DF，设正四面体棱长为a，则BE＝CE＝DF＝a，DE＝CF＝a，∴EF2＝CE2－CF2＝(a)2－(a)2＝a2，∴EF＝a.易知BC⊥EF，BC⊥DF，∴∠EFD即为所求二面角的平面角．cos∠E