高考数学简单几何体复习题14

高考数学简单几何体复习题14

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1、第九章(B)第六讲时间:60分钟 满分:100分一、选择题(8×5=40分)1.已知二面角α-l-β的大小为30°,m,n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m,n所成的角为(  )A.30°   B.90°   C.1  D.150°答案:A解析:∵两异面直线所成的角0°<α≤90°,故排除B、C、D.2.(·吉林延边一模)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC1的中点,则异面直线A1E与CD1所成角等于(  )A.90°B.60°C.45°D.30°答案:D解析:如图,A1E与CD1所成角等于∠BA1E,因为△A1BC1为等边三角形,又E为BC1中点,所以∠BA1E=30°.故选D.3.

2、(·黑龙江大庆一模)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB、B1C的中点,则EF和平面ABCD所成角的正切值为(  )A.B.C.D.2答案:B解析:取BC中点M,连结FM,则FM⊥平面ABCD,连结EM,则∠FEM为所求角.设正方体的棱长为2,则FM=1,EM=,tan∠FEM==.故选B.4.在四面体ABCD中,AD⊥平面DBC,BD⊥DC,AD=,BD=DC=,则二面角A-BC-D的大小为(  )A.30°B.45°C.60°D.75°答案:C解析:取BC中点E,易知BC=2,AB=AC=,AE=2,DE=1,AE2=AD2+DE2,知所求角为60°.5.如下图

3、所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,D、E分别是BC、AB的中点,AC>AD,设PC与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P-BC-A的平面角为γ,则α、β、γ的大小关系是(  )A.α<β<γB.α<γ<βC.β<α<γD.γ<β<α答案:A解析:本题考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念和计算.过A作AF⊥BC于F,连结PF,则∠PFA为二面角P-BC-A的平面角,∴∠PFA=γ,∠PCA为异面直线DE与PC的夹角,即∠PCA=α,连AD,PD与平面ABC的夹角为∠PDA⇒∠PDA=β,∵AC≠AB,∴AF<

4、AD,又AC>AD⇒AF>⇒tanγ>tanβ>tanα,又α、β、γ为锐角,∴α<β<γ,故选A.6.(·全国Ⅰ,9)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(  )A.B.C.D.答案:D解析:如图,D为BC的中点,则由题意得∠A1AD=∠BAD=30°,由三角形余弦公式得cos∠A1AB=,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为,故选D.7.(·保定市高三年级调研考试)在正四面体S-ABC中,E为SA的中点,F为△ABC的中心,则直线EF与平面ABC所成的角的大小为(  )A.ar

5、ccosB.45°C.arctanD.arctan答案:C解析:如图连接SF,则SF⊥平面ABC.连结AF并延长交BC于H,取线段AF的中点G,连结EG,由E为SA的中点,得EG∥SF,∴EG⊥平面ABC,∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角.设正四面体的边长为a,则AH=a,且AF=AH=a;在Rt△AGE中,AE=,AG=AF=a,∠EGA=90°,∴EG==a.在Rt△EGF中,FG=AF=a,EG=a,∠EGF=90°,∴tan∠EFG==,∴∠EFG=arctan,即EF与平面ABC所成的角为arctan,故选C.8.(·东北四市联考)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、

6、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为(  )A.90°B.60°C.45°D.30答案:C解析:如图由条件可知面ABC⊥面ACD时,三棱锥体积最大,如右图,∠DBE为所求的角,DE=BE.∴△DBE是等腰直角三角形,故∠DBE=45°,选C.二、填空题(4×5=9.(·上海)如图所示,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是________(结果用反三角函数值表示).答案:arctan解析:连接D1C.∵AD∥BC,∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角.在Rt△BCD1中,BC=2,CD1=2,

7、∴tan∠D1BC=,∴∠D1BC=arctan.10.(教材改编题)在正四面体ABCD中,E为AD的中点,则二面角E-BC-D的余弦值为________.答案:解析:如图取BC的中点F,连结EF、DF,设正四面体棱长为a,则BE=CE=DF=a,DE=CF=a,∴EF2=CE2-CF2=(a)2-(a)2=a2,∴EF=a.易知BC⊥EF,BC⊥DF,∴∠EFD即为所求二面角的平面角.cos∠E

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