专题二次函数应用题

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1、专题二次函数应用题　　一、引言　　数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践。从数学应用的角度来处理数学、阐释数学、呈现数学，可以提高理论知识的可利用水平，增强理论知识可辨别性程度。数学概念多是由实际问题抽象而来的，大多数都有实际背景。尽管应用的广泛性是数学的一大特征，但常常被数学教材的严谨性和抽象性所掩盖，导致学生应用数学的意识薄弱，应用能力不强。数学的“语言”供世界各民族所共有，是迄今为止惟一的世界通用的语言，是一种科学的语言。科学数学化，社会数学化的过程，乃是数学语言的运用过程；科学成果也是用数

2、学语言表述的，正如伽利略所说“自然界的伟大的书是用数学语言写成的”。从而端正并加深对数学的认识，激发我们应用数学的自觉性、主动性。　　二、例题　　例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。　　(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；　　(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？　　简解：　　(1)

3、由于抛物线的顶点是(0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。　　(2)当x=-2.5时，y=2.25。∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。　　评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤：　　(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；　　(2)根据给定的

4、条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；　　(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；　　(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。　　例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20

5、元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．　　(1)试求y与x之间的关系式；　　(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？　　解：(1)依题意设y=kx+b，则有　　所以y=-30x+960(16≤x≤32)．　　(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)　　=30(-x+32)(x-16)　　=30(+48x-512)　　=-

6、30+1920．　　所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．　　答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．　　注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．　　例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)　　(1

7、)求这个二次函数的解析式；　　(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米，)　　　　解：(1)设二次函数的解析式为　　，顶点坐标为(6，5)　　　　A(0，2)在抛物线上　　　　　　(2)当时，　　(不合题意，舍去)　　（米）　　答：该同学把铅球抛出13.75米.　　例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价（元/件）可看成是一次函数关系：　　1.写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服

8、装的销售价与购进价的差）；　　2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？　　分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。　　在这个问题中，每件服装的利润为（），而销售的件数是（+204），那么就能得到一个与之间的函数关系，这个函数是二次函数.　　要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.　　解：（1）由题意，销售利润与每件的销售价之间的函数关系为　　=