高一数学必修1(北师大版)同步练习3-6

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1、3-6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础巩固一、选择题1．函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是(　　)[答案]　A[解析]　排除法：∵函数y＝－logax中x>0，故排除B；当a>1时，函数y＝ax为增函数，函数y＝－logax为减函数，故排除C；当00时，图像的交点个数是(　　)A．0　　　B．1C．2　　　D．3[答案]　C[解析]　作出函数图像，易知有2个交点(2,4

2、)和(4,16)．3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示．现给出以下说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是(　　)A．①④　　　B．②④C．②③　　　D．①③[答案]　B[解析]　因为温度y随着时间t变化的图像是先凸后为平行于x轴的直线，即前5分钟每当t增加一个单位量Δt，y相应的增量Δy越来越小，故②正确；而5分钟后y关于t的增量为0，故④正确．故选B.4．某种动物的数量y(只)与时间x

3、(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到(　　)A．300只B．400只C．500只D．600只[答案]　A[解析]　当x＝1时，y＝100＝alog22，∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log28＝300，故选A.5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)[答案]　A[解析]　由题意得函数f(x)是减函

4、数，在四个选项中，只有A符合，故选A.6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y与x的函数关系为(　　)A．y＝0.9576B．y＝0.9576100xC．y＝xD．y＝1－0.0424[答案]　A[解析]　设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则有95.76%＝(1－t)100，所以t＝1－，所以y＝(1－t)x＝0.9576.二、填空题7．方程2x＝2－x的解的个数为____________．[答案]　1[解析]　分别作出函数y＝2x与y＝2－x的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只

5、有一个解．8．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…，这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是________．[答案]　y＝2x(x∈N＋)[解析]　该函数为指数函数型y＝2x(x∈N＋)．三、解答题9．在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫作14C的半衰期)，它的残余量从a变为a，

6、则经过t年后的残余量a′与a之间满足a′＝a·e－kt.现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．[解析]　a′＝a·e－kt，即＝e－kt，两边取对数，得lg＝－ktlge，①又知14C的半衰期是5570年，即t＝5570时，＝，所以lg＝－5570klge，即klge＝.②将②式代入①式，并整理得：t＝－.将＝0.879代入得：t＝≈1036(年)．即古莲子约是1036年前的遗物．能力提升一、选择题1．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a，b为常数，a>1>b>0)，若x∈(1，＋∞)时，f(x)>0

7、恒成立，则有(　　)A．a－b>1B．a－b≥1C．a－b<1D．a－b≤1[答案]　B[解析]　由x>1，a>1>b>0，知ax>a，bxa－b.由题意，得ax－bx>1恒成立，故a－b≥1，故选B.2．用固定的速度向下图形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是(　　)[答案]　B[解析]　t越来越大时，h增大的较快，而A、D是匀速增长的，瓶子应为直筒状，C表示的瓶子应是口大于底，故选B.二、填空题3．函数y＝的反函数是________．[答案]　y＝[解析]　∵x<0时，y＝x＋1，∴x＝y－1，∵x<0

8、，∴y<1，∴其反函数为y＝x－1(x<1)．又x≥0时，y＝ex，∴x＝lny.∵x≥0，∴y≥1，∴其反函数为y＝lnx(x≥1)，∴反函数为y＝4．四个变量y