“等”对“不等”的启示

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1、“等”对“不等”的启示　　对于解集非空的一元二次不等式的求解，我们常用“两根之间”、“两根之外”这类简缩语来说明其结果，同时也表明了它的解法．这是用“等”来解决“不等”的一个典型例子．从表面上看，“等”和“不等”是对立的，但如果着眼于“等”和“不等”的关系，会发现它们之间相互联系的另一面．设Ｍ、Ｎ是代数式，我们把等式Ｍ＝Ｎ叫做不等式Ｍ＜Ｎ，Ｍ≤Ｎ，Ｍ＞Ｎ、Ｍ≥Ｎ相应的等式．我们把一个不等式与其相应的等式对比进行研究，发现“等”是“不等”的“界点”、是不等的特例，稍微深入一步，可以从“等”的解决来发现“不等”的解决思路、方法与技巧．本文通过几个常见的典型例题揭示“等”对于“不等”

2、在问题解决上的启示．　　1．否定特例，排除错解　　解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点是它的相应等式的解或者是它的定义区间的端点．因此我们可以通过端点的验证，否定特例，排除错解，获得解决问题的启示．　　例1满足ｓｉｎ≥1／2的ｘ的集合是．　　Ａ．｛ｘ｜2ｋπ＋5π／12≤ｘ≤2ｋπ＋13π／12，ｋ∈Ｚ｝　　Ｂ．｛ｘ｜2ｋπ－π／12≤ｘ≤2ｋπ＋7π／12，ｋ∈Ｚ｝　　Ｃ．｛ｘ｜2ｋπ＋π／6≤ｘ≤2ｋπ＋5π／6，ｋ∈Ｚ｝　　Ｄ．｛ｘ｜2ｋπ≤ｘ≤2ｋπ＋π／6，ｋ∈Ｚ｝∪｛2ｋπ＋5π／6≤π，ｋ∈Ｚ｝　　分析：当ｘ＝－π／12、ｘ＝π／6

3、、ｘ＝0时，ｓｉｎ＜0，因此排除Ｂ、Ｃ、Ｄ，故选Ａ．　　例2不等式＋｜ｘ｜／ｘ≥0的解集是．　　Ａ．｛ｘ｜－2≤ｘ≤2｝　　Ｂ．｛ｘ｜－≤ｘ＜0或0＜ｘ≤2｝　　Ｃ．｛ｘ｜－2≤ｘ＜0或0＜ｘ≤2｝　　Ｄ．｛ｘ｜－≤ｘ＜0或0＜ｘ≤｝　　分析：由ｘ＝－2不是原不等式的解排除Ａ、Ｃ，由ｘ＝2是原不等式的一个解排除Ｄ，故选Ｂ．　　这两道题若按部就班地解来，例1是易错题，例2有一定的运算量．上面的解法省时省力，但似有“投机取巧”之嫌．选择题给出了三误一正的答案，这是问题情景的一部分．而且是重要的一部分．我们利用“等”与“不等”之间的内在联系，把目光投向解区间的端

4、点，化繁为简，体现了具体问题具体解决的朴素思想，这种“投机取巧”正是抓住了问题的特征，体现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机智．在解不等式的解答题中，我们可以用这种方法来探索结果、验证结果或缩小探索的范围．　　例3解不等式ｌｏｇａ＞1．　　分析：原不等式相应的等式--方程ｌｏｇａ＝1的解为ｘ＝1／．原不等式的定义域为∪．当ｘ→＋∞或ｘ→－∞时，ｌｏｇａ→0，故解区间的端点只可能是0、1或1／．当0＜ａ＜1时，1／＞1，可猜测解区间是）；当ａ＞1时，1／＜0，可猜测解区间是，0）．当然，猜测的时候要结合定义域考虑．　　上面的分析，可以作为解题的探索，也可以作为解题后的回

5、顾与检验．如果把原题重做一遍视为检验，那么一则费时，对考试来说无实用价值，对解题实践来说也失去检验所特有的意义；二则重做一遍往往可能重蹈错误思路、错误运算程序的复辙，费时而于事无补．因此，抓住端点探索或检验不等式的解，是一条实用、有效的解决问题的思路．　　2．诱导猜想，发现思路　　当我们证明不等式Ｍ≥Ｎ时，可以先考察Ｍ＝Ｎ的条件，基本不等式都有等号成立的充要条件，而且这些充要条件都是若干个正变量相等，这就使我们的思考有了明确的目标，诱导猜想，从而发现证题思路．这种思想方法对于一些较难的不等式证明更能显示它的作用．　　例4设ａ、ｂ、ｃ为正数且满足ａｂｃ＝1，试证：1／ａ3＋

6、1／ｂ3＋1／ｃ3≥3／2．　　分析：容易猜想到ａ＝ｂ＝ｃ＝1时，原不等式的等号成立，这时1／ａ3＝1／ｂ3＝1／ｃ3＝1／2．考虑到“≥”在基本不等式中表现为“和”向“积”的不等式变换，故想到给原不等式左边的每一项配上一个因式，这个因式的值当ａ＝ｂ＝ｃ＝1时等于1／2，且能通过不等式变换的运算使原不等式的表达式得到简化．　　1／ａ3＋／4ｂｃ≥＝1／ａ，　　1／ｂ3＋／4ｃａ≥1／ｂ，1／ｃ3＋／4ａｂ≥1／ｃ，　　将这三个等式相加可得　　1／ａ3＋1／ｂ3＋1／ｃ3≥1／ａ＋1／ｂ＋1／ｃ－［／ｂｃ＋／ｃａ＋／ａｂ］＝≥＝3／2，从而原不等式获证．　　这道题看

7、似不难，当年却使参赛的412名选手中有300人得0分．上述凑等因子的思路源于由等号的成立条件而产生的猜想，使思路变得较为自然，所用的知识是一般高中生所熟知的．再举二例以说明这种方法有较大的适用范围．　　例5设ａ，ｂ，ｃ，ｄ是满足ａｂ＋ｂｃ＋ｃｄ＋ｄａ＝1的正实数，求证：ａ3／＋ｂ3／＋ｃ3／＋ｄ3／≥1／3．　　证明：ａ3／＋ａ／9≥ａ2，　　ｂ3／＋ｂ／9≥ｂ2，　　ｃ3／＋ｃ／9≥ｃ2，　　ｄ3／＋ｄ／9≥ｄ2．　　∴ａ3／＋ｂ3／＋ｃ3／＋ｄ3／≥－　　＝－＋　　≥－≥