“等”对“不等”的启示_理学论文.doc

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1、“等”对“不等”的启示对于解集非空的一元二次不等式的求解，我们常用“两根之间”、“两根之外”这类简缩语来说明其结杲，同时也表明了它的解法.这是用“等”来解决“不等”的一个典型例子.从表面上看，“等”和“不等”是对立的，但如果着眼于“等”和“不等”的关系，会发现它们Z间相互联系的另一面.设M、N是代数式，我们把等式M=N叫做不等式MN、M^N相应的等式.我们把一个不等式少其相应的等式对比进行，发现“等”是“不等”的“界点”、是不等的特例，稍微深入一步,可以从“等”的解决來发现“不等”的解决思路、与技巧.本文通

2、过儿个常见的典型例题揭示“等”对于“不等”在解决上的启示.?1.否定特例，排除错解?解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点是它的相应等式(方程)的解或者是它的定义区间的端点(这里我们把+->、一9也看作端点).因此我们口J以通过端点的验证,否定特例，排除错解，获得解决问题的启示.?例1满足Sin(X—n/4)21/2的X的集合是().??A.{x

3、2kJi+5Ji/12WxW2kjt+13n/12,keZ}??B.{x

4、2kn-jt/12^xW2kJi+7n/12,keZ}??C.{x

5、2kJi+n/6WxW2k：n+

6、5Ji/6,keZ}??D.{x

7、2kJi

8、x

9、/x20的解集是().??A.{x

10、-2WxW2}??B.{x丨一；Wx<0或0

11、—2WxV0或0VxW2}??D.{x

12、;WxV0或0VxW;}?分析：山x=—2不是原不等式的解排除A、C,由x=2是原不等式的一个解排除D,故选B.?这两道

13、题若按部就班地解来，例1是易错题，例2有一定的运算量.上面的解法省时省力,但似有“投机取巧”之嫌.选择题给出了三谋一正的答案，这是问题情景的--部分.而且是重要的一部分.我们利用“等”与“不等”Z间的内在联系，把口光投向解区间的端点,化繁为简，体现了具体问题具体解决的朴素思想，这种“投机取巧”止是抓住了问题的特征,休现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机御.在解不等式的解答题屮，我们可以用这种方法來探索结果、验证结果或缩小探索的范围.?例3解不等式1oga(1-1/x)>1.(1996年全国高题)?分析：原不等式相应的等式

14、一方程1oga(1—1/x)=1的解为x=1/(1—a)(aH1是隐含条件).原不等式的定义域为(1,+°°)U(—8,0).当x->+oo或x——8时，1oga(1—1/x)—0,故解区间的端点只可能是0、1或1/(1—a).当01,可猜测解区I'可是(1,1/(1-a))；当a>l时，1/(1-a)<0,可猜测解区间是(1/(1-a),0).当然，猜测的时候要结合定义域考虑.?上面的分析，可以作为解题的探索，也可以作为解题后的回顾与检验.如果把原题重做一遍视为检验，那么一则费时，对考试来说无实

15、用价值，对解题实践来说也失去检验所特有的意义；二则重做一遍往往可能重蹈错误思路、错谋运算程序的复辙，费时而于事无补.因此，抓住端点探索或检验不等式的解，是一条实用、有效的解决问题的思路.?2,诱导猜想，发现思路?当我们证明不等式M2N(或M>N、MWN、M

16、3(b+c)+l/b3(c+a)+1/c3(a+b)23/2.(第36届IMO笫二题)?分析：容易猜想到a=b=c=1时，原不等式的等号成立，这时1/a3(b+c)=1/b3(c+a)=1/c3(a+b)=1/2.考虑到“M”在基本不等式小表现为“和”向“积”的不等式变换，故想到给原不等式左边的每一项配上一个因式，这个因式的值当a=b=c=l时等于1/2,R能通过不等式变换的运算使原不等式的表达式得到简化.?l/a3(b+c)+(b+c)/4bc$;=l/a,?l/b3(a+c)+(a+c)/4ca21/b,?l/c3(a+

17、b)+(a+b)/4ab31/c,?将这三个等式相加nJ得?l/a3(b+c)+l/b3(c+a)+l/c3(a+b)21/a+l/b+l/c—(l/4)[(b+c)/bc+(c+a)/ca+(a+b)/ab]=(l/2)(l/a+1/b+1/c)2(3/2);=3/2,从而原不等式获证.