线性系统非奇异线性变换及系统的规范分解

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1、8.5线性系统非奇异线性变换及系统的规范分解为了便于揭示系统的固有特性，经常需要对系统进行非奇异线性变换，如将A矩阵对角化、约当化；将系统化为可控标准型、可观测标准型也需要进行线性变换。为了便于分析与设计，需要对动态方程进行规范分解，往往也涉及线性变换。如何变换？经过变换后，系统的固有特性是否会引起改变呢？这些问题必须加以研究解决。8.5.1线性系统的非奇异线性变换及其性质1.非奇异线性变换设系统动态方程为（8-134）令（8-135）式中，非奇异矩阵P（，有时以形式出现）将状态变换为状态。设变换后的动态方程为（8-136）则有（8-137）上述过程就是对系

2、统进行非奇异线性变换。线性变换的目的在于使阵或系统规范化，以便于揭示系统特性，简化分析、计算与设计，在系统建模，可控性、可观测性、稳定性分析，系统综合设计方面特别有用。非奇异线性变换不会改变系统的固有性质，所以是等价变换。待计算出所需结果之后，再引入反变换，将新系统变回原来的状态空间中去，获得最终结果。2.非奇异线性变换的性质系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变性。下面进行证明。（1）变换后系统传递矩阵不变证明列出变换后系统传递矩阵为表明变换前后的系统传递矩阵相同。（1）线性变换后系统特征值不变证明列出变换后系

3、统的特征多项式表明变换前后的特征多项式相同，故特征值不变。由此可以推出，非奇异变换后，系统的稳定性不变。（2）变换后系统可控性不变证明列出变换后系统可控性阵的秩表明变换前后的可控性矩阵的秩相同，故可控性不变。（3）变换后系统可观测性不变证明列出变换后可可观测性矩阵的秩表明变换前后可观测性矩阵的秩相同，故可观测性不变。（4）（8-138）证明8.5.2几种常用的线性变换1.化A为对角阵（1）A阵为任意方阵，且有互异实数特征根。则由非奇异变换可将其化为对角阵（8-139）P由特征向量组成，（8-140）特征向量满足（8-141）（2）A矩阵为友矩阵，且有互异实数

4、特征根。则用范德蒙特（Vandermode）矩阵P可以将A对角化。（8-142）（3）A矩阵为任意方阵，有m重实数特征根（），其余（n－m）个特征根为互异实数特征根，但在求解时，仍有m个独立的特征向量，则仍可以将A矩阵化为对角阵。（8-143）（8-144）式中，是互异实数特征根对应的特征向量。2.化A矩阵为约当阵（1）A矩阵有m重实数特征根（），其余（n－m）个特征根为互异实数特征根，但重根只有一个独立的特征向量时，只能将A矩阵化为约当阵J。（8-145）（8-146）式中，分别是互异实数特征根对应的特征向量，而是广义特征向量，可由下式求得（8-147）（

5、2）当A矩阵为友矩阵，具有m重实数特征根（），其余（n－m）个特征根为互异实数特征根，但重根只有一个独立的特征向量时，将A矩阵约当阵化的P矩阵为（8-148）（3）A矩阵有五重特征根，但有两个独立特征向量，其余（n－5）个特征根为互异特征根，一般可化A矩阵为如下形式的约当阵J（8-149）（8-150）3.化可控状态方程为可控标准型前面曾对单输入-单输出建立了可控标准型状态方程，即（8-151）与该状态方程对应的可控性矩阵是一个右下三角阵，且其副对角线元素均为1（8-152）一个可控系统，当A，b不具有可控标准型时，定可选择适当的线性变换化为可控标准型。设系

6、统状态方程为（8-153）进行变换，即令（8-154）状态方程变换为（8-155）要求（8-156）设变换矩阵为（8-157）根据A矩阵变换要求，变换矩阵P矩阵应满足式（8-156），即（8-158）展开之增补一个方程整理后，得到变换矩阵为（8-159）另根据b矩阵变换要求，P应满足式（8-156），有（8-160）即（8-161）故(8-162)该式表示是可控性矩阵逆阵的最后一行。于是可以得到变换矩阵P的求法如下：（1）计算可控性矩阵（2）计算可控性矩阵的逆阵（3）取出的最后一行（即第n行）构成行向量（4）按下列方式构造P阵（5）便是将普通可控状态方程可化

7、为可控标准型状态方程的变换矩阵。当然，也可先将任意矩阵A化为对角型，然后再将对角阵化为友矩阵的方法将A化为友矩阵。8.5.3对偶原理设有系统，则称系统为系统的对偶系统。其动态方程分别为系统：系统：(8-163)式中，x、z均为n维状态向量，u、w均为p维，y、v均为q维状态向量。注意，系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。当为的对偶系统时，也是的对偶系统。如果系统可控，则必然可观测；如果系统可观测，则必然可控；反之亦然，这就是对偶原理。实际上，不难验证：系统的可控性矩阵与对偶系统的可观测性矩阵完全相同；系统的可观测性矩阵与对偶系统的可控性矩阵

8、完全相同。在动态方程建模、系统可控性和可观测性的判别