3 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理

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1、第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理教学内容和重点：1、掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，2、了解柯西中值定理3、掌握定理的条件、结论及几何意义；4、会用定理讨论方程的根或证明不等式等问题一、罗尔定理1、罗尔定理：设函数同时满足以下三条：①、在上连续；②、在内可导；③、则至少存在一个图形启发：最值点处导数为0。2、简证：①、②、费马引理：最值点3、用处：则罗尔定理可讨论方程根的存在性（讨论方程根的存在性有两个：零点定理、罗尔定理）区别：　　4、例题分析例1不求的导数，讨论的根的情况；①、在上连续；②、在内可导；③、。例２　设，且试证明：至少存在一点，使得　．步骤：

2、造函数，选区间例３　设是满足的实数，试证：方程在内至少有一实根。二、拉格朗日中值定理（解除罗尔定理中这个苛刻条件）1、拉格朗日中值定理：①、在上连续；②、在内可导；则，至少存在一个2、几何解释：在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB。3、简证：用罗尔定理，造函数，验证端点值相同。4、几点应注意的问题：①、罗尔定理是拉格朗日定理的特例；②、③、又称有限增量定理，微分中值定理，精确表达：④、推论：若函数在内任意一点导数均为0，则（常数）⑤、拉格朗日定理的用途——可用来证明不等式。原理：“通过的放缩，使等式变为不等式”函数值的差与导数值关系时，用拉格朗日定理证明。5、例题分

3、析例1：试证：．Ex:p132478