数学妙法--第二章

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1、例谈数学解题中的“变元”处理术分类：学法指导变元是数学的特征，变元所引起的变化，常会使学生在解题中茫然四顾，不知所措，可以这样说，良好的变元处理，是成功解题的一半。一、减元   化繁为简，化多为少，是任何解题的必经之路，因而减少变元也就是在解含有多元的题目中的首选方法。 例1.设，则的最小值是（   ）   A.2                     B.                          C.                         D.   分析：由基本不等式得由于含有四个变元，至此或出现

2、审题障碍，或直观估测时，取最小值，从而出现误解。如若设法将题中的四个变元进行减元，可得，从而正确答案应为（C）。 二、增元 1.将一个较复杂的式子看成一个整体，增加一个变元将其替换，并在新变元允许值内讨论并解决问题。 例2.数列中，，，求通项公式。   解：   令   则可得   即是一个等差数列   ，由此可得：     2.把待求结果看作一个新增的变元，可以把已知条件统一起来，沟通条件与结论间的联系，一方面最能表达问题之间关系，另一方面也会使解决问题的过程更简洁。 例3.已知a，b，c为非零实数，且，求的值。解：令

3、代入已知条件得：   即   从而ab+bc+ca=0或   由ab+bc+ca=0   得   即   综上所述，  3.当问题条件中出现连续比例形式的等式时，往往可以令其比值为新变元，从而可抓住问题的本质特征，优化解决问题的过程。 例4.已知，求证：。   证明：将已知等式两边同乘以a+b得：      即   故   令其比值为t，则   从而    三、转元   当原有的变元不足以发现问题的本质，这时常常会考察问题的结构特征，将其转元，转成新的变元，从而可借此增加条件，拓宽解题途径。 例5.解不等式   解：令 

4、  则原不等式可化为   解得：   从而   即原不等式的解为 四、虚元   把问题中出现的某个常数，看作一个新的“虚变元”，将其带入其它条件或结论，即“常数代换”，往往能打破思维的定势，收到意想不到的效果。 例6.若a，b，x，y均为正数，且的最小值为18，求a，b。解：将“1”当成一个变元，得：   从而   又   由此解得： 五、主元   多变元的干扰，常会使学生思维的头绪陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然。 例7.设奇函数上是增函数，且，若函数对所有的

5、都成立，当时，t的取值范围是（   ）   A.   B.   C.   D.解：对于而言，把x当成主元的最大值为得即再把a看成主元，不等式左边可看成关于a的函数令则且由此可得正确答案为（C）。  例8.随着k值的变化，方程的直线形成了一个直线系，若该直线系中有且只有一条直线经过点A，由所有这样的点A组成的集合记作M，试问M中的点组成怎样的曲线？解：本题有三个变元x，y，k，如若把k看成主元则原方程可当成关于k的二次方程：“有且只有一条直线经过点A”即相当于该方程有两个相等的实根，从而△=0即化简得：即M中的点组成了抛物

6、线。 例说解平面向量题的方法和技巧分类：学法指导解平面向量题除用到向量的有关知识外，还常用到一些方法和技巧，现举例说明。      一、提取或分配      例1 设a是非零向量，且b≠c，求证的充要条件是。      证明：充分性 由可知。      必要性 由。因此的充要条件是。       二、添项或去项      例2 已知a、b为非零向量，求证的充要条件是。      证明：充分性      因为。      必要性 因为，所以a⊥b。       三、平方或开方      例3 已知向量a、b、c两两所成角相

7、等且不共线，，求向量a＋b＋c的长度及它与a的夹角。      解：由已知，得a、b、c的两两所成的角均为120°。      因为      而2×3×      所以      所以      设a与的夹角为θ，则                   四、平方与配方      例4 对于两个非零向量a、b，求使最小时t的值，并求此时b与的夹角。      解：。      当时，取最小值，即取得最小值。      当时，，所以b⊥（a＋tb），所以b与a+tb的夹角为90°。       五、数形结合法      例

8、5 已知a、b是两个非零向量，同时满足，求a与的夹角。      解：根据向量加法的几何意义，作图如图1：图1      在平面内任取一点O，作为邻边作平行四边形OACB。      因为，即，所以OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，，所以△AOB为正三角形，则∠AOB＝60°，于是∠AOC＝30°，即a