数学妙法--第一章

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1、一元二次方程根的分布及应用分类：学法指导众所周知，一元二次方程一直是高考的热点之一，其根的分布更是常考的内容，对于此类问题很多同学感到无从下手，为此笔者归纳出几条结论，希望对大家的学习有所帮助。   一元二次方程，令。   （1）方程有一实根小于，另一实根大于的充要条件是且。   （2）方程有一实根大于，另一实根小于的充要条件是。   （3）方程有两实根，其中一根在（）内的充要条件是。   （4）方程在（）内有两实根的充要条件是。   通过图象很容易得出这些结论，证明从略。下面举例说明其应用。  例1.已知方程的两根分布在区间（0，1）和（2，5）内，试求m的取值范围。   解

2、：令   由结论（3）知，即为所求的m取值范围。  例2.已知关于x的实系数方程两实根为α、β，求证：如果，，则，且

3、b

4、<4。证明：由已知得方程在（-2，2）内有两实根α、β令。   由上述结论（4）知   由不等式（2）（3）易得   由不等式（2）+（3）得b>-4。   由不等式（1）得   由不等式（4）得   故   于是有说明：正确找出两根的范围是应用上述结论的前提，至于二次项系数小于0时，则可将其变为大于0，再应用上述几个结论。 含参一元二次不等式的求解策略分类：学法指导含参一元二次不等式是同学们学习上的一个难点，为帮助同学们突破这一难点，现介绍几种常用的求解策

5、略。一、利用韦达定理求解      例1 如果关于x的不等式的解集是（m

6、即时，。若△>0，即时，不等式的解集为。若，即时，不等式的解集为。若，即时，不等式的解集为R。②当即时，不等式解集为R。③当即时，恒成立，不等式的解集为。说明：本题的讨论标准分两类，第一类是依据二次项的系数，第二类是依据判别式。 三、数形结合，避免讨论      例4 设集合，，，若，求的取值范围。      解：，，，记，由，知=0的两根满足，由二次函数的图象得，解得。      说明：对于数形结合问题，在熟练的基础上，不用画图，可以在脑海中想象图象的形状，使问题的解决更快捷。 构造长方体巧解异面直线问题分类：学法指导立体几何的教学目的是培养学生的空间想象能力。高中学生已经有

7、了初步的空间想象能力，大脑有了一些几何体的表象。但这些表象还是不清晰的、不稳定的、不全面的。面对异面直线问题他们不知如何构造线线关系、线面关系利用有关定理解题，这时我们可以通过构造学生熟悉的几何体如长方体来解决问题，在问题解决后把长方体去掉让学生直接解题，以此来培养学生的空间想象能力。一、线面综合性选择填空题   有关线线、线面综合性选择填空题主要是考查立几的基本概念，学生易入手，但又易出错，得分率一直较低。为了提高做题的准确性，我们可以引导学生充分利用学过的几何体如长方体等来解答问题。 例1.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：   （1）若α//β，

8、，则m//n。   （2）若m，，则α//β。   （3）若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。   （4）m、n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，则α//β。   上面命题中，真命题的序号是_____________________（写出所有真命题的序号）   解：构造长方体如图所示，取ABCD为α，为β，AB为m，为n，则（1）不成立。图1取ABCD为α，CDD’C’为β，AB为m，EF为n，E、F分别是BC、AD的中点，则（2）不成立。取ABCD为α，A’B’C’D’为β，AA’为m，BB’为n，由，，m//n，则n⊥β故α//β，（3）成立。取ABCD为

9、α，A’B’C’D’为β，MN为m，GH为n，其中M、N分别为DD’、BB’的中点，H、G分别在BB’、CC’上，且GH//BC，N、H不重合，则BC//β，BD//β，故α//β，（4）成立，从而真命题的序是（3）（4）。  例2.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：A.          若，，，则l与m不共面；（2）若m、l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；（3）若l//α，m//β，α//β，则l//m；（4）若l，，，，，则α//β