妙法突破数学运算系列

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1、妙法突破数学运算系列之沿途数车问题样题及详解【例题】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?【分析】假设小明在路上向前行走了60（20、30的最小公倍数）分钟后，立即回头再走60分钟，回到原地。这时在前60分钟他迎面遇到60÷20=3辆车，后60分钟有60÷30=2辆车追上他。那么在两个60分钟里他共遇到朝同一方向开来的5辆车，所以发车的时间间隔为：60×2÷（3+2）=24（分）【例题】小明放学后，沿某路公共汽车

2、路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?【分析】公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固定不变的。根据每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到：间隔=30×（车速-步速）；根据每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔=20×（车速+步速）。所以30×（车速-步速）=20×（车速+步速），化简可得：车速=5倍的步速。【注释】根据“车速=5倍的步速”和“间隔=30×（车速-步速）”或“间隔=

3、20×（车速+步速）”可以得到间隔=30×（车速-车速÷5）=24×车速我们也可以得到发车间隔等于24分钟【总结】核心公式：两车间距=背后（追及）时间间隔×（车速-步速）两车间距=迎面（相遇）时间间隔×（车速+步速）妙法突破数学运算系列之牛吃草问题核心公式【熟记】牛吃草问题的核心公式：草场草量=（牛数－每天长草量)×天数，通常设每天长草量为x基础题型演练【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃？天【解答】根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？（10－x)×20=（15－x)×10→x=5将x=5代入，?=5【

4、例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供?头牛吃4天【解答】根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4（10－x)×20=（15－x)×10→x=5将x=5代入，?=30较为复杂的情形【例3】22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽；17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽；？头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？A.50B.46C.38D.35【解答】设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩牧草量为y根据核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（2－3x)×18=36－54x28y=（17－28x)×

5、84→y=（17－28x)×3=51－84x40y=（?－40x)×2436－54x=51－84x→x=1/2→y=940×9=(?-20)×24→?=35其它情形漏水问题，排队等候问题...等均可看作这种问题。妙法突破数学运算系列之中国的剩余定理问题例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为

6、，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。

7、则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，这个年级至少有多少人？题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=4