11泰勒展开式与高考试题

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1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)泰勒展开式与高考试题在本讲中,我们将专注于由泰勒展开式命制高考试题的方法和途径,由此,揭秘高考命题专家命制高考试题的手段和方向,以利于命制更优秀的试题,为预测高考试题服务.[母题结构]:(超越函数的泰勒展开式):①ex=1+++…++eθx(其中0<θ<1);②ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+(-1)n()n+1.[母题解析]:略.1.指数函数子题类型Ⅰ:(2010年课标高考理科试题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(Ⅰ

2、)若a=0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.[解析]:(Ⅰ)当a=0时,由f(x)=ex-1-x(x)=ex-1,由此列表,由表知,f(x)在(-∞,0)上递减.在(0,+∞)上递增;(Ⅱ)由ex=1+++eθx(其中0<θ<1)当x≥0时,ex≥1++=1+x+x2;由此可先证:ex-1-x-x2≥0:令g(x)=ex-1-x-x2(x≥0),则(x)=ex-1-x,由(Ⅰ)知,(x)在[0,+∞)上单调递增(x)≥(0)=0g(x)在[0,+∞)上单调递增g(x)≥g(0)=0当a≤时,f(x)=ex

3、-1-x-ax2≥ex-1-x-x2≥0成立;当a>时,(x)=ex-1-2ax(x)=ex-2a(x)在(0,ln2a)上单调递减当0

4、当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.由ex=1+++…++eθx(其中0<θ<1)ex≥1+x(x∈R)e-1≤(x>-1)1-e-1≥1-=(x>-1),由此可命制:2.(2010年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=1-e-x.(Ⅰ)证明:当x>-1时,f(x)≥;(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.由ex=1+++…++eθx(其中0<θ<1)…①e-x=1-++…+(-1)n+(-1)n+1eθx(其中0<θ<1)…②;①+②得:ex+e-x=2+x2+…当x≥0时,ex+e-x≥2+x2;①-②得:ex+e-x=2(x+

5、++…)当x≥0时,ex+e-x≥2(x+),由此可命制:3.(2007年全国Ⅰ高考试题)设函数f(x)=ex-e-x.(Ⅰ)证明:f(x)的导数(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.4.(原创试题)设函数f(x)=ex-e-x.(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≥2x+x3;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax+x3,求a的取值范围.2.对数函数子题类型Ⅱ:(2008年山东高考试题)已知函数f(x)=+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意

6、的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.[解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(1,+∞),当n=2时,f(x)=+aln(x-1)(x)=;①当a≤0时,f(x)无极值;②当a>0时,f极小值(x)=f(1+)=(1+ln),无极大值;(Ⅱ)当a=1时,f(x)=+ln(x-1),由ln(x-1)≤x-2,要证f(x)≤x-1,只需证≤1;由x≥21-x≤-1

7、1-x

8、≥1≤≤1.[点评]:由ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+(-1)n()n+1ln(x+1)≤xln(x-1)≤x-2,由此,如上试题;由此,还可直接的命制:5.(2

9、010年全国Ⅰ高考试题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.(Ⅰ)若x(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;(Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0.由ln(x+1)≤x(x>-1)lnx≤x-1(x>0)ln≤-1(x>0)lnx≥1-=(x>0)ln(x+1)≥(x>-1),由此可命制:6.(2006年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.7.(2015年山东高考试题)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点

10、的个数,并说明理由;(Ⅱ)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.由ln(x+1)≥(x>-1)(x+1)ln(x+1)≥x,由此可命制:8.(