换元放缩思路综合探究

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1、换元放缩思路综合探究摘 要:本文将换元与放缩两种思路结合应用求解相关问题,在分类认识的基础上,通过与常规思路的对比,提炼出适合学生认识这一类问题的基本方法,并给出了详尽的讨论与基本的应对模式。关健词:换元放缩 分类对比 应对策略换元与放缩是高中数学中两个重要的解题方法与技巧,融含着深刻的逻辑推理与数学转化思想。理解这两种方法的本质与强化这两种思维的应用,能够使知识低层次不断分化,高层次重新组合,形成科学高效的思维,促使创新能力的发展。换元与放缩两种思路的结合应用,更会使许多问题的求解变得简捷高效,更加有利于培养思维的灵活性、发散性、独创

2、性,形成深刻的洞察力。本文集锦了一些两种方法结合应用的题目,在分类认识的基础上,通过与常规思路的对比,以达到启迪思维的妙用。一、换元放缩在含参方程中的应用例1、若关于x的方程16x+(4+a)·4x+4=0有解,则实数a取值范围是( )。A、(-∞,-4)   B、(-∞,4 8-4)C、(-8,-4]        D、(-∞,-8]解法一:常规思路。令t=4x(t≥0),原方程可化为t2+(4+a)t+4=0。由题意知此方程需要有正根,所以△≥0且两根之和为正数,则可得不等式组:(a+4)2-16≥0-(a+4)>0从而易得:

3、a≤-8。解法二:换元放缩思路。令t=4x(t≥0),原方程可化为t2+(4+a)t+4=0。移项并两边同除以t(t>0),则可知:(4+a)=-t- ≤-4 从而易得:a≤-8。点评:第一种方法是换元与一元二次根的判别式结合求解,是换元转换后首先想到的基本思路。第二种换元转换后采用方程形式的等效转换,得到了有效形式后采用放缩得到了结果。显然第二种方法求解过程简捷高效,有利于思维深层次的训练。换元后将复杂方程转换为一元二次方程是解题的基础,应用换元自变量的定义域使方程转化为可放缩的形式是解题的关键,利用不等式的性质放缩后得到结果是

4、解题的技巧。二、换元放缩在不等式中的应用例2、已知a、b、c、d∈R,求证:ac+bd≤ (a2+b2)(c2+d2)解法一:常规思路。∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc+ad)2≥0∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴ (a2+b2)(c2+d2)≥

5、ac+bd

6、≥ac+bd即:ac+bd≤ (a2+b2)(c2+d2)解法二:换元放缩思路。设:    ,     (r1、r2均为变量),则:ac+bd=r1r2cosacosβ+r1r2sinasinβ=r1r2cos(a-β)≤

7、r1r2

8、

9、r1

10、r2

11、=

12、r1

13、

14、r2

15、= a2+b2· c2+d2= (a2+b2)(c2+d2)即:ac+bd≤ (a2+b2)(c2+d2)点评:第一种应用的是差值比较与放缩法直接得到了结果。第二种采用三角换元的方式,利用三角函数的值域进行放缩得到了结果。从形式上看,第一种解法比第二种解法思维直接,解题过程简单,但第一种解法需要多次转换,思维歧点较多;第二种采用三角转换后,歧点较少,开辟直接到达结果的目的。利用三角换元是解题的基础,利用三角函数的值域进行放缩是解题的关键,利用三角函数的性质使三角形式转换为原不等式是解题的技巧。三、换元放缩在含参不

16、等式中的应用例3、已知x∈R时,32x-(k+1)·3x+2>0。则k的取值范围是( )。A、(-∞,-1)   B、(-∞,2 2-1)C、(-1,2 2-1)  D、(-2 2-,2 2-1)解法一:常规思路。设t=3x(t>0),则原不等式可转化为:t2-(k+1)t+2>0。对应方程t2-(k+1)t+2=0的△=(k+1)2-8=k2+2k-7(1)当-2 2-1<k<2 2-1时,△<0,方程t2-(k+1)t+2=0无实根,不等式t2-(k+1)t+2>0恒成立。因此当k∈(-2 

17、2-1,2 2-1),不等式32x-(k+1)·3x+2>0是成立的。(2)当k≤-2 2-1或k≥2 2-1时,△≥0,方程t2-(k+1)t+2=0有实数根。设此方程两个实根为t1、t2,且t1≤t2,要使得t>0时不等式t2-(k+1)t+2>0成立,则方程t2-(k+1)t+2=0的大根t2≤0。∵t1·t2=2>0∴t2≠0又∵t1+t2=k+1<0即:k<-1结合分析条件k≤-2 2-1或k≥2 2-1可知:k∈(-∞,-2 2-1];即当k∈(-∞,-2 2-1]时,32x-(k+1)·

18、3x+2>0是成立的。只要满足(1)或(2)结果,32x-(k+1)·3x+2>0均成立,因此k取值范围是(-∞,2 2-1)。解法二:换元放缩思路。令3x=t(t>0),则原式可转换为:

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